10.5欧拉路径和欧拉回路(Euler Paths and Circuits)

Posted 2021-03-18 spicyarticle

10.5欧拉路径和欧拉回路(Euler Paths and Circuits)

引入:七桥问题

"一笔画"--》针对边而言

欧拉图(Eulerian graph)

1. 图G的欧拉回路(Euler circuit)指的是遍历G中每一条边的简单回路(simple circuit), 这样的轨迹称为欧拉环游(Euler tour)
   
2. 图G的欧拉路径(Euler path)指的是遍历G中每一条边的简单路径(simple path), 这样的轨迹称为欧拉轨迹(Euler trail)
   
3. 有欧拉回路的图称为欧拉图，无欧拉回路但是有欧拉路径的图称为半欧拉图

定理1：

连通图G是欧拉图，当且仅当，G是连通的，并且没有度为奇数(odd)的顶点

定理2：

连通图G是存在从a到b的欧拉路径，当且仅当，G是连通的，并且除a和b(a≠b)的度为奇数(odd)之外，没有度为奇数(odd)的顶点

定理3：

有向连通图G是欧拉图，当且仅当，G是连通的，并且G的每个顶点的入度＝出度

定理4：

有向连通图G含有欧拉通路，当且仅当，G是连通的，并且G中除两个顶点(节点不相等)外，其余每个顶点的入度=出度，且此两点满足(deg^-(u)-deg^+(v)=±1)

证明均略

哈密顿路径与回路(Hamilton Paths and Circuits)

哈密顿图(Hamiltonian Graph)

1. 图G的哈密顿回路(Hamiltonian circuit)指的是遍历G中每一个点且只遍历一次的回路, 这样的轨迹称为哈密顿环游(Hamiltonian tour)
   
2. 图G的哈密顿路径(Hamiltonian path)指的是遍历G中每一个点且只遍历一次的路径, 这样的轨迹称为哈密顿轨迹(Hamiltonian trail)
   

3. 有哈密顿回路的图称为哈密顿图，无哈密顿回路但是有哈密顿路径的图称为半哈密顿图

   遗憾的是，现在还没有快速判别一个图是否为哈密顿图的方法

记忆轮(memory wheel)

具有(2^n)的记忆轮能存储n位二进制的所有信息；且其和相应的哈密顿图是一一对应的

当然，相应转化后的欧拉图也具有一一对应关系，且更任意找

一些哈密顿图判定的充分条件

定理1：

简单图G的最小度数的顶点度数≥n/2

定理2：

简单图G的任意一对相邻点的度数和≥n

证明均略