奇技淫巧训练之五

Posted 2020-11-15 wzxbeliever

https://www.luogu.org/problem/P2501

这道题真的很好，写题解的人写的也真好

第一问

如果要保留 a[i]，a[i] 和 a[j]，a[j] ，
前提是：他们中间的数本身就合法，或者他们中间的数可以被改成合法。

比如，17，50，50，50，19这个序列，看上去17和19能保留，但如果保留，中间三个50怎么改都不会单调上升。

可见只有 a[j]，a[j] 和 a[i]，a[i] 的差大于等于 j-i才允许同时保留两者，否则中间一定出错。

a[j] - a[i] >= j - i移项：

a[j] - j >= a[i] - i此为保留条件。

所以把根据 a 预处理出新序列 b[i] = a[i] - i，

然后找 b的最长不下降子序列的长度，就是最多能保留的个数。

第二问

把 a变成严格单调上升序列等同于：在 b 上对应地处理，并把 b 变成单调不降。

现在就考虑 b怎么改才能代价最小。

注意：（一） b 的最长不下降子序列可能有多个。

（二） b 的最长不下降子序列中，任何两个相邻的元素 b[i], b[j]

（相邻指的是在子序列中相邻，而在 b 中不一定相邻） 之间

，绝对不存在另一个大小介于两者之间的元素。

否则取这个元素，保证合法，而且可以使不降序列更长。

所以每个被保留的 b[i]和 b[j] 之间的元素全部不合法。怎么改变这两者之间的元素？

黑线表示修改以后的海拔。显然所有方法都是阶梯（横线看作台阶）。此方法看上去很糟。

如果台阶上的“上升点数目”大于“下降点数目”，那么把台阶下降（以满足那么多“上升点”的要求！），

直到它下降到和左边台阶一样高，也就和左边变成了同一块台阶。

反之，就把台阶上升到和右边台阶一样高。然后继续缩减台阶。

如果有Up = Down的，则台阶向上向下都可以（代价不变，台阶数目减少）。

这个过程始终保证合法、保证代价减小或不变。

这样变化到End，一定只剩下两块台阶，左边的高 b[i]，右边的高 b[j] 。

以上说明，最优解一定是（或者说，一定可以是）

左边 b[i] ~to~ b[k] 全部变成 b[i] 且

右边 b[k+1] ~to~ b[j] 全部变成 b[j]

的形态。

如果最优解不是这样，我们可以无偿甚至减偿来变成这种形态。

每个区间的 k可以枚举。

code by std

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
inline int getint()
{
    int res = 0, neg = 0, ch = getchar();
    while(!(isdigit(ch) || ch == '-') && ch != EOF)ch = getchar();
    if(ch == '-')neg = 1;
    while(isdigit(ch))res = (res << 3) + (res << 1) + (ch - '0'), ch = getchar();
    return neg ? -res : res;
}
#define re register
#define LL long long
#define INF 2147483647
inline LL min(LL x, LL y) {return x < y ? x : y; }
inline LL abs(LL x) {return x < 0 ? -x : x; }
int n;
int a[40010], b[40010];
int Minof[40010], len = 0, Longest[40010];
int first[40010], to[40010], nxt[40010], cnt = 0;
LL f[40010];
LL sumL[40010], sumR[40010];
inline void addE(int u, int v)
{
    ++cnt;
    to[cnt] = v;
    nxt[cnt] = first[u];
    first[u] = cnt;
}
int main()
{
    n = getint();
    for(re int i = 1; i <= n; ++i)
        a[i] = getint(), b[i] = a[i]-i;
    b[n+1] = INF;
    //二分法找最长不降子序列 
    for(re int i = 1; i <= n+1; ++i)
    {
        int l = 0, r = len;
        while(l < r)
        {
            int mid = (l + r + 1) >> 1;
            if(Minof[mid] <= b[i])
                l = mid;
            else
                r = mid - 1;
        }
        if(l == len) 
            ++len;
        Longest[i] = l+1;
        addE(Longest[i], i);
        Minof[l+1] = b[i];
    }
    addE(0, 0);
    printf("%d
", n-(len-1));
    memset(f, 20, sizeof(f));
    b[0] = -INF;f[0] = 0;
    for(re int i = 1; i <= n+1; ++i) 
    {
        for(re int p = first[Longest[i]-1]; p; p = nxt[p])
        {
            int u = to[p];
            if(u > i || b[u] > b[i])
                continue;
            sumL[u] = 0; 
            for(re int k = u+1; k <= i-1; ++k)
                sumL[k] = sumL[k-1] + abs(b[k] - b[u]);   
            sumR[i-1] = 0;
            for(re int k = i-2; k >= u; --k)
                sumR[k] = sumR[k+1] + abs(b[k+1] - b[i]);
            for(re int k = u; k <= i-1; ++k)
                f[i] = min(f[i], f[u] + sumL[k] + sumR[k]);
        }   
    }
    printf("%lld
", f[n+1]);
    return 0;
}