浅谈Cauchy不等式

Posted 2021-03-15 beyondlimits

形式

[ sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2 geq sum_{i=1}^{n}a_i^{2}b_i^2 ]

等号成立的条件：
[ iff:b_i=0 || exists k in mathbb {R},a_i=k cdot b_i(i in mathbb{N^+}) ]

证明

法一：参数配方

思路：巧妙的把常数与方程结合起来，利用性质即可。

证明：

构造函数:
[ f(t)=sum_{i=1}^{n}b_i^2cdot t^2-2sum_{i=1}^{n}a_ib_it+sum_{i=1}^{n}a_i^2 ]
化简函数：
[ f(t)=sum_{i=1}^{n}b_i^2cdot t^2-2sum_{i=1}^{n}a_ib_it+sum_{i=1}^{n}a_i^2 ]

[ =sum_{i=1}^{n}(b_i^2t^2-2a_ib_it+a_i^2) ]

[ =sum_{i=1}^{n}(b_i^2t^2+a_i^2-2a_ib_it) ]

[ =sum_{i=1}^{n}(b_it-a_i)^2 ]

所以：
[ f(t) geq 0 ]

[ Delta t=b^2-4ac ]

[ =4sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2-4 imes sum_{i=1}^{n}b_i^2 imes sum_{i=1}^{n}a_i^2 leq 0 ]

所以：
[ 4sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2 leq 4 imes sum_{i=1}^{n}b_i^2 imes sum_{i=1}^{n}a_i^2 ]

[ sum_{i=1}^{n}a_i^2 imes sum_{i=1}^{n}b_i^2 geq sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2 ]

证毕。

因为：
[ f(t)=sum_{i=1}^{n}(b_it-a_i)^2 ]
令(f(t)=0)，即
[ a_i=b_it ]
此时：
[ f(t)_{min}=0? ]
即：
[ Delta t leq 0 ]
故等号可取的一个充分条件即为：
[ exists k in mathbb {R},a_i=k cdot b_i(i in mathbb{N^+}） ]

法二：均值不等式证明

思路：运用分析法将原式子化简，使用绝对值三角不等式与均值不等式进行证明。

引用到的均值不等式（证明略）：
[ ab leq frac{a^2+b^2}{2} ]
适用条件：
[ a,b in mathbb {R^+} ]
等号成立条件：
[ iff:a=b ]

证明：

要证：
[ sum_{i=1}^{n}a_i^2sum_{i=1}^{n}b_i^2 geq sum_{i=1}^{n}a_i^{2}b_i^2 ]
开方得：
[ sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2} geq |sum_{i=1}^{n}a_ib_i| ]
只需证：
[ |sum_{i=1}^{n}a_ib_i| leq sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2} ]

[ frac{|sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}}leq 1 ]

由绝对值三角不等式：
[ |a_1+a_2+a_3+cdots+a_n| leq |a_1|+|a_2|+|a_3|+ cdots + |a_n| ]
可得：
[ |sum_{i=1}^{n}a_ib_i| leq sum_{i=1}^{n}|a_ib_i| ]
所以：
[ frac{|sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}} leq frac{sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}} ]
又因为：
[ frac{sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}} ]

[ =sum_{i=1}^{n}frac{|a_i|}{sqrt{sum_{i=1}^{n}a_i^2}}cdot frac{|b_i|}{sqrt{sum_{i=1}^{n}b_i^2}} ]

由均值不等式：
[ ab leq frac{a^2+b^2}{2} ]
可得：
[ sum_{i=1}^{n}frac{|a_i|}{sqrt{sum_{i=1}^{n}a_i^2}}cdot frac{|b_i|}{sqrt{sum_{i=1}^{n}b_i^2}} ]

[ leq frac{1}{2}cdot sum_{i=1}^{n}(frac{a_i^2}{sum_{i=1}^{n}a_i^2}+ frac{b_i^2}{sum_{i=1}^{n}b_i^2}) ]

[ leq frac{1}{2}cdot (frac{sum_{i=1}^{n}a_i^2}{sum_{i=1}^{n}a_i^2}+ frac{sum_{i=1}^{n}b_i^2}{sum_{i=1}^{n}b_i^2}) ]

[ leq frac{1}{2} imes 2 = 1 ]

即：
[ frac{|sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2}}leq 1 ]

[ |sum_{i=1}^{n}a_ib_i| leq sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2} ]

[ sqrt {sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2} geq |sum_{i=1}^{n}a_ib_i| ]

[ sum_{i=1}^{n}a_i^2 sum_{i=1}^{n}b_i^2 geq sum_{i=1}^{n}a_i^{2}b_i^2 ]

证毕。

法三：n维向量证法

因为：
[ |vec a cdot vec b| leq |vec a|cdot |vec b| ]
所以：
[ |vec a cdot vec b|^2 leq |vec a|^2cdot |vec b|^2 ]
(vec a,vec b)为(n)维向量时，用坐标的形式展开即可证明。

当(vec a=kvec b)，即(a)，(b)共线时，等号成立。

申明与感谢

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