有限元分析中的常识（持续更新）

Posted 2022-01-21 陆嵩

有限元分析中的常识（持续更新）

介绍一些学过有限元的人都不得不超级熟练掌握的基本常识。

文章目录

• • 有限元分析中的常识（持续更新）
  • • 通用符号
    • 基本不等式
    • • Cauchy-Schwarz 不等式
      • Hölder's 不等式
      • Young's 不等式
      • Poincaré 不等式
      • 离散版本的 Gronwall 不等式
      • Sobolev 不等式
    • 嵌入定理
    • • 嵌入定理
      • 紧嵌入定理
    • Cea 引理证明技巧
    • Aubin-Nitsche 对偶技巧
    • Lax-Milgram 定理

通用符号

$\Vert \cdot {\Vert }_{m,p}$ 表示 Sobolev 空间 $W^{m,p}(\Omega )$ 范数：
$$\Vert u{\Vert }_{m,p}={\left(\sum _{|\alpha |\le m}{\Vert D^{\alpha }u\Vert }_{L^p}^p\right)}^{1/p}$$

为了表达的简洁，当 $p=2$ 时，可以省略第一个下标，即$\Vert \cdot {\Vert }_m=\Vert \cdot {\Vert }_{m,2}$ 表示 $W^{m,2}(\Omega )=H^m(\Omega )$ 的范数。

同样地，当 $m=0$ 时，可以省略第一个下标，但是为了和上面一个省略区分，我们一般用 $\Vert \cdot {\Vert }_{L^p}=\Vert \cdot {\Vert }_{0,p}$ 表示 $W^{0,p}(\Omega )=L^p(\Omega )$ 范数：
$$\Vert u{\Vert }_{L^p}={\left({\int }_{\Omega }|u{|}^p\mathrm{d}x\right)}^{1/p}$$

更进一步的省略，当 $m=0,p=2$ 时，直接用 $\Vert \cdot \Vert ==\Vert \cdot {\Vert }_{0,2}$ 表示 $W^{0,2}(\Omega )=L^2(\Omega )$ 的范数。

$(\cdot ,\cdot )$ 表示 $L^2$ 内积。

一根短竖线 $|\cdot {|}_{m,p}$ 表示相对于范数的半范，以此类推。

基本不等式

Cauchy-Schwarz 不等式

$$|(a,b){|}^2\le \Vert a\Vert \Vert b\Vert$$

Hölder’s 不等式

$$\Vert uvw{\Vert }_{L^s}\le \Vert u{\Vert }_{L^p}\Vert v{\Vert }_{L^q\Vert w{\Vert }_{L^r}},\forall p,q,r\in (0,\infty ],\frac{1}{s}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}.$$

Young’s 不等式

设 $p,q\in R,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,a$ 和 $b\ge 0$, 则有 Young 不等式:
$$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.$$

Young 不等式有一些变形，比如说可以在 $a,b$ 前面加上 $\epsilon$ 和 ${\epsilon }^{-1}$ 得到 $ϵ$-Young 不等式。

Poincaré 不等式

$$\Vert v{\Vert }_{L以上是关于有限元分析中的常识（持续更新）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章}$$

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