滤波器稳定性与极点

Posted 2021-03-15 kanite

　　在数字信号处理种，系统的稳定性是一个很重要的问题，比如说在滤波器的设计种，都要求系统必须稳定，否则是无法实用的。那么如何判断系统是否稳定呢？

　　从定义上说，如果输入有界，则输出必定有界的系统是稳定的。从数学上可以推导出，因果系统冲击响应Z变换的收敛域包含单位元的系统是稳定的。从零点极点的角度，则是系统函数的所有极点都在单位元内的系统是稳定的。如何来理解呢？

　　我们先以一个简单的单极点系统为例来理解系统的稳定性。比如有一个单极点系统：

　　H(z)=1/(1-2z^-1)

　　表示的是如下的信号处理过程：系统当前输出是当前输出加上2陪的系统上一个时刻输出。这个系统是不稳定的，因为当前输出需要放大上一个时刻的输出，这也就是说，系统存在自激的过程，直观上我们就可以很好理解，自激系统是不稳定的。从分析极点的角度看，这个系统的极点为2，在单位圆外，与数学上的分析是一致的。极点在单位圆内的要求，对一阶极点而言，实际上就是直观上要求系统不能自激。

　　对于高阶极点的情况，由代数知识可知，高阶极点可进行分式分解，也就是高阶极点可以分解为多个一阶极点并联（并联串联都可以构成高阶系统），在并联系统中，只要有一个系统不稳定，整个系统就是不稳定的。这与数学上要求的所有极点都在单位圆内是对应的。对于更一般的即包含零点又包含极点的系统，可以看成一个全零点系统和全极点系统串联而成，零点和系统的稳定性无关，分析和结论与高阶全极点系统完全一致。