算分-Searching

Posted 2021-03-13 zyna

Binary Search Trees:

　　BST树里首先讲了插入删除查找等操作，比较常规。查找：最差O(n)，最好O(logn)，平均O(logn)；插入：成功的插入平均O(logn)，最差也是O(n)；删除里有三种情况，对于一次成功的删除，待删除的结点v的子结点个数只可能是0、1、2，如果是0的话就直接删除无妨，是1的话就把其子结点作为待删除结点的父节点的子结点（原话是:make that child the child of the parent of v)，如果有2个子结点的话，就从左子树里面找出最大的结点代替v就可以了。

　　BST树中还讲了最优BST树的问题，之前的一些文章里也有涉及（高级数据结构），直接列公式：C[i,j] = min{C[i,k-1] + C[k+1,j] + p[i,j] - pk}, i <= k <= j，其中p[i,j]表示pi~pj的和，C[i,j]表示一段区间内的最优BST树的代价，所以用动态规划的思想就可以解决，但三层循环i,j,k，不难发现复杂度是O(n^3)，其实是比较高的。文中提出了一个优化的思想，用R[i,j]来记录对应的根结点编号，发现它的表格形式里关于行和列都是单调递增的，于是对于C[i,j]的R[i,j]，只要尝试R[i,j-1]到R[i+1,j]中的所有R就可以了，不难证明此时的复杂度可以降到O(n^2)。

Red-black Trees:

　　红黑树在之前专门有提到过，此处不再讲述具体的内容。但在这之前作者提到了2-3-4树（每一个内部节点的孩子结点数目是2/3/4，而且所有的叶子结点在一个高度），不难算出高度为h的2-3-4树的最大节点数和最小节点数都是常数的h次幂，所以一般操作都是O(logn)的。值得一提的2-3-4树和RB树有一个对应的关系。

Amortized Analysis:

　　摊还分析对算法的设计产生了深远的影响，之后我们将会看到一些数据结构，通过摊还分析可以看到它的本质。

　　第一个提到的模型是binary counting，假设一个数以二进制的形式存在数组A里面，下面的代码来计算存在A里面的数：

 

1 loop i = 0;
2      while A[i] = 1 do A[i] = 0; i++ endwhile;
3     A[i] = 1.
4 forever

　　比如从0数到15需要变化bit一共26次，对于一个数n最多是[logn] + 1位，所以最多变化n([logn] + 1)次，还有几种分析的方法：

　　第一种叫做aggregation：我们可以找规律发现对于数n，有j个后缀1的小于等于n = 2^k - 1的数i一共有2^(k-j) = (n+1) / 2^j，然后再对j求一个期望可以得到总的操作次数是小于2n+2的，这样一来我们可以摊还到每一个操作，平均代价是常数级别的；

　　第二种叫做accounting：比如我们把0->1的变化付2元，1->0的变化付0元，而0->1的2元实际上分为两部分，一部分是bit change，另一部分是bit不变，也就是0-1-1，后面的1元用来偿还之后的1-0的价钱，也就是说最后的代价是最多是2n；

　　第三种方法比较奇特，叫做势函数，ci表示实际操作代价，ai = ci + pi - p(i-1),则sum(ai) = sum(ci) + pn - p0，其中是关于状态i的一个代价，使得p0 = 0, pn >= 0，这就保证所有的ai之和大于等于ci,即我们构造的代价cover了实际的代价。设pi为数字i中的1的个数，bi为后缀1的个数，则pi - p(i-1) = bi - b(i-1) = (b(i-1) - t(i-1) + 1) - b(i-1) = 1 - t(i-1), ci + pi - p(i-1) = 1 + t(i-1) + 1 - t(i-1)  = 2, 那么所有的ai之和就是2n，也就是说所有的代价之后小于等于2n，平均每次也是常数次的代价。

Splay Trees:

　　splay树中涉及一个代价的问题，这在之前高级数据结构一章中有所介绍，不再介绍。

Homework:

　　问题1：考虑数组A[1,n]，其中A[1] >= A[2], A[n-1] <= A[n]。我们说i是一个局部最小值如果A[i-1] >= A[i] <= A[i+1]，注意A至少有一个局部最小值。1）我们显然可以在O(n)的条件下找出这个点i，请你设计出更高效的算法。2）分析自己设计的算法

　　问题2：一颗树有n个顶点，如何在O(n)的时间内求出最小点覆盖(是一个点的集合，每条边都有对应的端点在这个集合里面，而且是这样的集合中点的数目最少的）

　　问题3：证明2n次旋转足以把一颗有n个结点的bst转换另一个结点相同但是结构不同的bst

　　问题4：设计一个数据结构，存储具有(key, cost)的结点，要求完成以下四个操作，而且每个操作每个操作最多耗费为logn。

　　1）add(k,c),加入(k,c)这个结点. 2）remove(k,c),删除key = k的结点. 3）max(k1,k2)(k1 <= k2)，返回k1 <= key <= k2的所有结点中最大的cost，4）count(c1,c2)（c1 <= c2)，返回cost在c1~c2中的节点个数