算分-PRIORITIZING

Posted 2021-03-12 zyna

Heaps and Heapsort:

　　堆是一种快速访问最大优先级元素的数据结构，这是快速实现选择排序的基础，但是总体来说平均速度比快排要慢一点，不过其最坏情况和平均情况是差不多的。

　　首先是堆的定义，每个结点比它的孩子结点都小（所以父节点最小），或者每个结点都比它的孩子结点大（父节点最大），把A[1,n]看做一个堆，i的两个孩子结点分别是2i和2i+1，这个非常方便实用。接着是删除堆的最小值（最大值同理），想法就是先删除最小值，然后把最后一个元素放到根节点并且不断sift-down，这个是一个结点下沉操作，即当前结点和两个子结点（如果有的话）中的最小者交换，继续下沉。然后是插入堆元素，想法是在最后的一个位置(i = n + 1)加入元素，然后sift-up,也就是和父节点比较，小的往上，大的下沉。同时无论是sift-down或者是sift-up都是O(logn)的。

　　于是我们可以提出堆排序的想法，也就是每次都删除最值，然后整理我们的堆，最后的总代价是O(nlogn)的，因为最差的代价t(n) <= t(2/3n) + t(1/3n) + O(logn)，同时建堆的复杂度也是O(n)的，所以这个算法还是可以接受的。

Fibonacci Heaps:

　　在介绍斐波那契堆之前先来介绍二项树，高度为h的二项树由两棵高度为h-1的二项树得到，其中一棵二项树的根接到另外一棵二项树上面。h = 0的时候只有一个单一结点，由此可以递推得到其他的情况。用二项树来存结点的话需要用多棵二项树；举个例子，如果我们要存n个东西，那么我们先把n二进制表示，如果第i位是1(i >= 0)，那么就构造一棵高度为i的二项树，这样一来就得到若干的二项树，结点数目之和为n。每棵树都是按照堆结构来存储，但是最小的那个元素并没有预先规定存在哪棵二项树里面，举个例子说:我们本来要存11个元素，再加入1个元素，那么就会得到下面的图：

　　

　　这里我们发现二项树的规模从8，2，1变成8，2，1，1变成8，2，2变成8，4。因为一种规模的二项树最多只有一棵！（结合二进制表示来理解）

　　讲完了二项树，我们来讲一下斐波那契堆，斐波那契堆是一些有序堆构成的树的集合，有一种想法是即为二项树的集合，但我们希望更加灵活一点，很重要的一点是知道斐波那契堆的结点是如何联系在一起的。这里面，兄弟结点用双向循环链表联系，而且每一个结点有一个指针指向自己的一个孩子节点，以及一个指针指向自己的父节点。除了指针，每一个结点有一个关键词，它的度数，以及一个逻辑位（标志marked/unmarked)。有序堆的根节点用双向循环链表连接，而且有一个特殊的指针指向最小的那个结点。

　　接下来介绍几个斐波那契堆的操作。给定两棵二项树，连接就是把root较大的那棵树放到root较小的那棵树下，作为它的孩子，也称为link操作；解体一个二项树或者是其子树，我们只要把对应的root从其所在的双向循环链表里面删除就可以了，也称为unlink操作；最后，要结合两个双向循环链表，我们切断所有的开端并在结尾连接，我们称为merge。图示如下:

　　

　　以上三个操作都是常数时间内的操作。

　　后来讲了用势函数来分析斐波那契堆的各种操作。首先是定义势函数，令ri为root cycle中的个数，mi为marked nodes的个数，势函数为ri + 2mi。第一个操作是getmin操作，由于不改变斐波那契堆的结构，所以ai = ci = 1；第二个是meld操作，也就是合并，也没有改变整体的数量，所以ai = ci = 1；第三个是insert插入操作，我们先创造一个斐波那契堆只有一个结点，然后把两个堆合在一起，root cycle中多了一个元素，所以势函数差值为1，ai = ci + 1 = 2。

　　接下来是delete min的操作，分下面四步。1）在root cycle中删除最小节点 2）把root cycle中的其他结点和删除结点的子结点merge 3）如果有root cycle中的结点的度数一样就不断合并 4）更改最小结点的指针位置，用势函数分析可以得到代价是O(logn)的；然后是decreasekey and delete,其中decreasekey是O(1)的，delete a node是O(logn)的。

　　总结一下见下图：

　　

Solving Recurrence Relations:

　　说白了就是求解递推方程。文中用了一个比较奇葩的方法来求解，但是我觉得没什么必要，想法是用<a1,a2,....>来表示所有的项，规定一个操作L是把<a1,a2,a3,...>变成<a2,a3,...>,以及这样的形式可以构成线性空间（对加法和数乘满足八条性质），然后就去凑零化的形式。比如斐波那契数列的零化多项式是L^2 - L - 1,然后求解这个方程。比较有用的是介绍了一个主定理：

　　设T(n) = aT(n/b) + f(n)是关于复杂度T的一个递推关系，设c = n^(log(b)a)，比较c和f(n)的大小，如果f(n)可以用n^(c-e)渐进逼近的话，那么T(n)就是n^c;如果f(n)和n^c同阶，就是n^clogn;如果f(n) >= Cn^(c+e)，则为f(n)。比如归并排序中T(n) = 2T(n/2) + n，或者T(n) = 2T(n/2) + n^2等等。给三道题目吧：

　　1、T(N) = 2T(N/2)+NlogN，T(1)=1T(1)=1，则该算法的时间复杂度为？

　　2、T(N) = 2T(N/4) + sqrt(N), T(1) = 1, 求复杂度？

　　3、T(N) = T(N-1) + N, T(1) = 1，求复杂度？

Homework: