02-gnp-smallworld 图机器学习之最小世界

Posted 2021-03-11 combfish

本节重点：如何衡量一个网络 （网络量化）

网络的关键属性：

1. 度的分布：P（k）

2. 路径长度：h

3. 集聚系数（clustering coefficient）：C

4. 连通分量（connected components）：s

---

 1. 度的分布 degree distribution：P（k）

统计每个节点的度，形成归一化后的直方图

2. 路径

3. 距离：最短路径

4. 直径：网络中任意节点最短距离的最大值

5. 平均路径长度（针对连通图或强连通的有向图）

6. 集聚系数（无向图）：

   首先，看单个节点，其与邻居的连接关系如何。例如节点i，他的度为ki,ei是节点i的邻居间的边的数量

 

平均集聚系数：

7. 连通性： 最大连通分量（子图/分支）的尺寸，使用BFS广度优先方式

---

接下来开始量化现实世界中的网络

MSN的联系网络

对分布取log

集聚：

度对应的集聚系数

弱连通分支尺寸的统计：

若连同分支的半径：

平均路径长度为6.6,90%的节点可最小经由8跳后连接

---

随机图模型  Erd?s-Renyi Random Graphs

两类变量（针对无向图）：

Gnp：n个节点，边的出现（顶点相连）满足概率p

Gnm：n个节点，均匀随机选取m个边

n和p不能唯一确定一个图谱，该图谱是随机过程的结果

Gnp的属性：

度的分布：p(k) —— 满足二项分布

路径长度：h

集聚系数: C

p（k)表示度为k的节点的概率

k- 表示度的期望

均值，和方差可通过公式计算

根据大数定律，随着网络规模的增大，分布变得越来越窄，因而可以确定一个点的度在k附近

随机模型的集聚系数较小

如果我们生产不同网络规模但平均度为k的网络，随着网络规模的增大，集聚系数以C的倍数衰减

膨胀Expansion：

图G(V,E)的膨胀α：

事实上，对于一个节点数为n，expansion为α的图，对于所有节点的对，路径长度O((log n)/α).

随机图具有良好的可扩展性，因此BFS访问所有节点需要对数步长

随机图的规模可以变得很大，但节点间的距离会保持在较小的数

对随机图的评估：

（

Giant Component

一个规模很大的网络中，可能存在多于一个的连通分支/连通分量（Connected Component），即网络中并非所有节点都连通。但是在真实网络中通常存在一个规模很大的连通分支（即Giant Component）会包含网络中大多数的节点（比如超过80%的节点）。

如果一个人刚注册人人，还没加好友，那他就是一个孤立点（没有和任何其他点相连）。而一旦有了好友，就不再是孤立点。如果某个学校规定学生在人人只能加本校好友，不能有外校好友，那么这个学校的学生也会构成一个小的独立的连通分支。不过可以想到，人人里绝大多数的同学都处在一个超大的连通分支中，真正孤立的节点或小的连通分支所占用户数是很少的。

Facebook的数据显示约99.7%的用户处在一个超大的Giant Component中。

来源： https://www.cnblogs.com/guolei/p/3513496.html

）

随机图的图结构随p变化的示意图：

当p==0时，该图各节点无连接

当p==1/(n-1)，即平均度为1时，出现giant component

当p==c/(n-1)时，平均度为一常数,但有多数的孤立点

当p==log(n)/(n-1)时，更少的孤立点

当p==（2*log(n)）/(n-1)时，没有孤立点

当p==1时，为完全连通图

giant component的出现：（这个没太看懂）

通过MSN验证上面的推论：

1. 度的分布：二项分布→不成立

2. 平均路径长度：O(log n)   MSN中，n为180M，log n≈8.2  实际为6.6 →满足推论

3. 集聚系数: 度的期望/节点个数  约在8*10-8  不等于0.11→不满足推论

4. 最大连通分量：若度的平均期望>1，则giant component存在，实际上包含99%的点→满足推论

因此，在在很大程度上，现实世界的网络，并不是随机图

随机图存在的问题：

度的分布与现实世界的网络不同

在大多数真实的网络中，giant component并不是通过phase transition产生的

集聚系数太低

既然如此，我们为什么还有学习随机图模型？

因为：

他是其他类型模型的参考模型

帮助我们理解和计算许多属性，从而与真实数据做比对

它将帮助我们理解某一特性在多大程度上是某个随机过程的结果

因此：

虽然随机图模型不实际，但是很有用！

---

最小世界模型 the small world model

在具有高集聚的情况下同时路径最短？

在上面的推理中，MSN网络的集聚系数的量级比随机图的高7个量级

其他一些真实网络的例子，如：

演员合作网络，电网网络，神经元网络，他们的平均路径长度与随机网络的量级一致，但集聚稀疏的量级比随机网的大

最小世界：高集聚，半径的量级为log n

集聚意味着边缘的局部性

随机性使得捷径存在

最小世界模型的两个成分：

1. 从一个低维规则的晶体开始

    在例子中，我们使用一个环作为晶体

    拥有高的集聚系数

2. 连接：引入随机性 （捷径）

    添加/删除边，用于生成连接较远的晶体间的捷径

    对于每一条边，移动另一端点到随机端点的概率为p

下图中，横轴为移动概率p，左纵轴为集聚系数，右纵轴为平均路径长度，可以看出，p的概率越大，集聚系数下降，平均路径长度下降。从降低的斜率来看，需要较大的随机性来破坏集聚性，但较小的就能创造最短路径。

如何创造一个最小世界？—— 一些随机的连接

Watts Strogatz Model:

提供了集聚性与最小世界的相互作用

捕捉许多现实网络的结构

现实网络的高集聚性

没有引向正确的度分布？？？（不太确定）

Kronecker Graph Model

创建大的真实图谱

设想：如果我们递归生成网络会怎么样？

递归生成网络的结构会是怎样的？→ 自相似性

      对象类似于自身的一部分：整体与一个或多个部分形状相似

模拟递归的图谱生成/社区增长：

Kronecker product

克罗内克积：是生成自相似矩阵的方式

数学上，克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算。克罗内克积是张量积的特殊形式，以德国数学家利奥波德·克罗内克命名。

定义两个图的克罗内克积，主要是使用两图的连接矩阵

克罗内克图是通过图的克罗内克积的迭代生成的

随机克罗内克图：

1. 生成n*n的概率矩阵

2. 计算概率矩阵的克罗内克积

3. 对于最后的结果，每个元素表示两个端点间的连接概率

得到概率矩阵后如何得到图？ 抛硬币？ 那这样需要抛n2次的硬币，太慢

是否有更快的方式？

是的

设想：探索克罗内克图的递归结构

    逐个将图的边放置？那么如何放置一个具备n=2^m个端点的图的边？→ 拆解并重插入

快速生成克罗内克图的算法：（理解得不是很透）

真实网络与克罗内克较为相似

来自为知笔记(Wiz)

附件列表