形象理解“梯度”

Posted 2021-03-11 johnyang

梯度是微积分多元函数的一个重要概念，简单来说，梯度是一个向量，当函数上的一点按照该向量移动，函数值增加最大，该向量由函数分别对自变量的偏导值所构成。如果函数是二元函数，则梯度是二维向量，在自变量构成的平面上，如果函数是三元函数，则梯度是三维向量，在自变量构成的空间中。本文着重对它的上述的意义，进行形象的阐述。

下面分别举个例子：

（1）u(x,y)=x**2+y**2，在(-10,10)这一点，梯度向量为（-20，-20）。

其图像如下图：

 

B点就是（-10，-10，200），O是过该点作的水平面，由于该函数为二元函数，所以梯度向量为x,y组成的二维向量，所以该向量必定在O平面中，具体就是（-20，-20），图中BC向量为与梯度方向相反的向量，是（20，20），沿着该方向走，即在曲面上BE走，就是该函数值减小最快的方向。

（2）u(x,y,z)=x**2+y**2+z**2

该函数为三元函数，实际上它是个体，可以想象成在原点吹气球，气球不断膨胀所包含的体，该函数的梯度向量为x,y,z所组成的三维向量，设点（x0,y0,z0)为该体的某一点，该点沿着（2x0,2y0,2z0)的方向，函数值将增加的最快，而该向量正好也是该点所在的球面的法向向量（方向朝外），如果沿着跟该方向垂直的方向走，函数值将不变，因为它还在该点所在的球面上，上述的几点也跟确实与我们的生活经验吻合。