Solution: 题解 CF1059E Split the Tree

Posted 2021-03-08 brianpeng

给出一个堆贪心解法

记点(u)的深度为(d_u(d_1=0))，父亲为(f_u)，拥有儿子数量(es_u)。

首先找到每个点的最远延伸点（点(u)的最远延伸点记为(v_u)），借助树上倍增即可。

接下来是贪心方法

在每次链连接完后删掉这些点，那么每条链的尾端一定是一个叶子。

那么就想办法找出目前贪心最优的叶子，然后往上连接。

以下的贪心本蒟蒻并没有想出严格证明方法，只能感性理解一下了QAQ。

贪心 1：目前(d_{v_u})最小的叶子(u)是最优叶子

举个栗子：(n=5,f_{2..n}=[1,1,2,2],v_{1..n}=[1,1,3,1,2])（请自行脑补这棵树）

现在的叶子有(3,4,5)。

因为(3)与其他叶子不冲突，所以直接考虑(4,5)即可。

如果选择(4)，那么最多可以延伸出({1,2,4})，剩下({3},{5})，一共(3)条。

如果选择(5)，那么最多只能延伸出({2,5})，剩下的(3,4)不能帮忙带走(1)，所以就(4)条了QAQ。

( herefore) 应该选择(d_{v_u})最小的叶子(u)以求带走更多的点。

贪心 2：对于最优叶子(u)，能往上连就往上连

因为是目前最优的叶子，没有其他叶子可以到达(v_u)，相比于让(v_u)重新开一条链，还是用(u)带走比较合算。

具体实现方法

构建一个存储点(u)，以(d_{v_u})为关键字的小根堆。

使用 dfs 求出(v_u,es_u)，然后把叶子丢进堆里。

每次弹出一个点(u)，答案计数(+1)，并且往上连接，将路过的点用(vs_u)标记掉。

直到到达(v_u)或者该点已被标记，停止连接。

Particularly, 如果到达了(v_u)且没有被标记，那么(f_{v_u})就失去了一个儿子，所以要处理(es_{f_{v_u}})并判断入堆。

Time complexity: (O(nlog n))

Memory complexity: (O(nlog n))

具体见代码（(823)ms / (49.40)MB）

//This program is written by Brian Peng.
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","no-stack-protector")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define Rd(a) (a=read())
#define Gc(a) (a=getchar())
#define Pc(a) putchar(a)
int read(){
    int x;char c(getchar());bool k;
    while(!isdigit(c)&&c^'-')if(Gc(c)==EOF)exit(0);
    if(c^'-')k=1,x=c&15;else k=x=0;
    while(isdigit(Gc(c)))x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15);
    return k?x:-x;
}
void wr(int a){
    if(a<0)Pc('-'),a=-a;
    if(a<=9)Pc(a|'0');
    else wr(a/10),Pc((a%10)|'0');
}
signed const INF(0x3f3f3f3f),NINF(0xc3c3c3c3);
long long const LINF(0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL),LNINF(0xc3c3c3c3c3c3c3c3LL);
#define Ps Pc(' ')
#define Pe Pc('
')
#define Frn0(i,a,b) for(int i(a);i<(b);++i)
#define Frn1(i,a,b) for(int i(a);i<=(b);++i)
#define Frn_(i,a,b) for(int i(a);i>=(b);--i)
#define Mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)
#define N (100010)
int n,l,s,w[N],f[N][20],g[N][20],ans,d[N],es[N],lg[N]{-1},u,v[N];
bool vs[N];
vector<int>e[N];
struct Cmp{bool operator()(int a,int b)const{return d[v[a]]>d[v[b]];}};
priority_queue<int,vector<int>,Cmp>q;
void dfs(int u);
signed main(){
    Rd(n),Rd(l),Rd(s);
    Frn1(i,1,n)if(Rd(w[i])>s)wr(-1),exit(0);
    Frn1(i,2,n)e[Rd(*f[i])].push_back(i),lg[i]=lg[i>>1]+1;
    dfs(1);
    while(!q.empty()){
        u=q.top(),q.pop(),++ans;
        for(int p(u);!vs[p];p=*f[p]){
            vs[p]=1;
            if(p==v[u]){if(!--es[*f[v[u]]])q.push(*f[v[u]]);break;}
        }
    }
    wr(ans),exit(0);
}
void dfs(int u){
    Frn1(i,1,lg[d[u]])f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1],
        g[u][i]=g[u][i-1]+g[f[u][i-1]][i-1];
    int rs(s-w[v[u]=u]);
    Frn_(i,lg[d[u]],0)if(d[u]-d[v[u]]+(1<<i)<l&&g[v[u]][i]<=rs)
        rs-=g[v[u]][i],i=min(i,d[v[u]=f[v[u]][i]]);
    for(int i:e[u])*f[i]=u,*g[i]=w[u],d[i]=d[u]+1,dfs(i);
    if(!(es[u]=e[u].size()))q.push(u);
}