loj2004. 「SDOI2017」硬币游戏

Posted 2021-03-08 liankewei

2004. 「SDOI2017」硬币游戏

周末同学们非常无聊，有人提议，咱们扔硬币玩吧，谁扔的硬币正面次数多谁胜利。

大家纷纷觉得这个游戏非常符合同学们的特色，但只是扔硬币实在是太单调了。

同学们觉得要加强趣味性，所以要找一个同学扔很多很多次硬币，其他同学记录下正反面情况。

用 $ exttt{H} $ 表示正面朝上， 用 $ exttt{T} $ 表示反面朝上，扔很多次硬币后，会得到一个硬币序列。比如 $ exttt{HTT} $ 表示第一次正面朝上，后两次反面朝上。

但扔到什么时候停止呢？大家提议，选出 $ n $ 个同学， 每个同学猜一个长度为 $ m $ 的序列，当某一个同学猜的序列在硬币序列中出现时，就不再扔硬币了，并且这个同学胜利。为了保证只有一个同学胜利，同学们猜的 $ n $ 个序列两两不同。

很快，$ n $个同学猜好序列，然后进入了紧张而又刺激的扔硬币环节。你想知道，如果硬币正反面朝上的概率相同，每个同学胜利的概率是多少。

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Sol

一道很妙的题。

正常的AC自动机+高斯消元点数S是$O( sum Len）$，$ S^3 $过不了。

我们考虑只表示出有用的点。

记 $p_i$ 表示 $i$ 赢的概率，$p_0$ 当前是某一个状态且表示没有人赢的概率。

 考虑转移 $ p_i=frac{1}{2^m} p_0 $

但是有可能加点加 $k$ 个字符就先完成了某个 $j$  ，这时的概率为 $ frac{1}{2^{m-k} imes p_j $

也就是说先完成了 $j$ 然后再往后加 $m-k$ 个字符 。

那么有方程 $ p_i=frac{1}{2^m}p_0 - sum_{j=1}^n sum_{k=1}^m [substring(i,1,k)=substring(j,m-k+1)] frac{1}{2^{m-k}} p_j $

注意还有 $sumlimits_{i=1}^{n}p_i =1$

hash实现即可

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 305
#define db long double
#define p 793999
#define ll unsigned long long
using namespace std;
int n,m;
db a[N][N],n2[N],ans[N];
char ch[N][N];
ll h[N][N],P[N];
void Gauss(){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        int M=i;
        
        for(int j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(a[j][i])>fabs(a[M][i]))M=j;
        for(int j=i;j<=n+1;j++)swap(a[i][j],a[M][j]);
        if(a[i][i]==0)continue;
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            db tmp=a[j][i]/a[i][i];
            for(int k=i;k<=n+1;k++)a[j][k]-=tmp*a[i][k];
        }
        
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        ans[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
        for(int j=i-1;j>=1;j--){
            a[j][n+1]-=a[j][i]*ans[i];
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    n2[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++)n2[i]=n2[i-1]*0.5;
    P[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++)P[i]=P[i-1]*p;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf(" %s",ch[i]+1);
        for(int j=1;j<=m;j++)h[i][j]=h[i][j-1]*p+ch[i][j];
    }
    for(int i=1;i<=n+1;i++)a[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i][0]=n2[m];
        for(int j=1;j<=n;j++){
            for(int k=1;k<=m;k++){
                if(h[i][k]==h[j][m]-h[j][m-k]*P[k])a[i][j]-=n2[m-k];
            }
        }
    }
    Gauss();
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.10Lf
",ans[i]);
    return 0;
}

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