聊一聊粗糙集

Posted 2021-03-07 gedanke

本节我们将继续介绍粗糙集有关的概念。

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上节我们介绍了知识粒度的矩阵表示形式，本节将介绍基于知识粒度属性约简定义和算法。

基于粗糙特征选择算法亦称为属性约简，其旨在保持数据集分类能力不变的前提下，通过约简冗余属性，最后得到问题的决策或分类规则。

相关定义

设决策信息系统(S=(U,A=C igcup D,V,f))，(B subseteq C)，如果(B)为(S)的最小属性约简，则：
[ GP_{U}(D mid B)=GP_{U}(Dmid C) ]

[ forall a in B,quad GP_{U}(D mid B -{a}) ot= GP_{U}(D mid B) ]

第一个式子保证了约简集(B)有着与全体条件属性集(C)相同的划分能力；而第二个条件保证了约简集(B)内没有冗余属性。

近似分类精度的定义如下：
设决策信息系统(S=(U,A=C igcup D,V,f))，(forall X subseteq U)，(R)是一个等价关系，则集合(X)关于等价关系(R)的近似分类精度为：
[ alpha_{R}(X)=frac{|underline{R}X|}{|overline{R}X|} ]

其粗糙度为：
[ ho_{R}(X)=1-alpha_{R}(X) ]

近似分类质量的定义如下：
设决策信息系统(S=(U,A=C igcup D,V,f))，(forall X subseteq U)，(R)是一个等价关系，则集合(X)关于等价关系(R)的近似分类质量为：
[ gamma_{R}(X) =frac{|underline{R}X|}{|U|} ]
或者说
决策信息系统(S=(U,A=C igcup D,V,f))，(forall X subseteq U)，(R={X_{1},X_{2},...,X_{m}})是论域(U)的一个划分，将(R)的上近似和下近似分别定义为：
[ overline{R}X={overline{R}X_{1},overline{R}X_{2},...,overline{R}X_{m} } ]

[ underline{R}X={underline{R}X_{1},underline{R}X_{2},...,underline{R}X_{m} } ]

则(R)的近似分类精度：
[ alpha_{R}(X)=frac{sum^{m}_{i=1}|underline{R}X_{i}|}{sum_{i=1}^{m}|overline{R}X_{i} |} ]

近似分类质量：
[ gamma_{R}(X) =frac{sum_{i=1}^{m}|underline{R}X_{i}|}{|U|} ]

特别地，若等价关系(R)是被决策属性集(D)划分的，(U/D={X_{1},X_{2},...,X_{m} })，(forall X subseteq U)，则(D)的近似分类精度为：
[ alpha_{R}(D)=frac{POS_{R}(D)} {sum_{i=1}^{m}|overline{R}X_{i} |} ]

近似分类质量：
[ gamma_{R}(D) =frac{POS_{R}(D)}{|U|} ]

对于这种情况，我们先看一个例子，若
[ U/D={X_1,X_2 }={{e_{1},e_{4},e_{5},e_{8}},{e_2,e_3,e_6,e_7 } } ]

考虑论域(U)对条件属性集(C)划分的等价关系(R)
[ U/C={{e_1},{e_2},{e_3},{e_4},{e_5,e_7},{e_6,e_8} } ]

下近似：
[ underline{R}X_1={e_1,e_4} ]

[ underline{R}X_2={e_2,e_3 } ]

近似分类质量：
[ gamma_{R}(D)=frac{|underline{R}X_1|+|underline{R}X_2|}{|U|}=frac{4}{8}=frac{1}{2} ]

再来看之前的一个例子：
(S=(U,A=C igcup D,V,f))是一个决策信息系统，考虑条件属性(C)对论域(U)划分的等价关系(R)，(U/C={{e_{3},e_{6} },{e_{2},e_{5} },{e_{1},e_{4} } })，集合(X={e_{1},e_{2},e_{4}})，显然(X)是一个粗糙集，则：
[ underline{R}X={e_{1},e_{4}} quad overline{R}X={e_{1},e_{2},e_{4},e_{5}} ]

近似分类精度：
[ alpha_{R}(X)=frac{|underline{R}X|}{|overline{R}X|}=frac{2}{4}=frac{1}{2} ]

粗糙度：
[ ho_{R}(X)=1-alpha_{R}(X)=1-frac{1}{2}=frac{1}{2} ]

近似分类质量：
[ gamma_{R}(X) = frac{|underline{R}X|}{|U|} = frac{2}{6} = frac{1}{3} ]

基于知识粒度的属性约简算法

在介绍完经典粗糙集模型一些基本的相关概念后，我们将给出粗糙集里面的一个经典算法，基于知识粒度非动态属性约简算法。

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算法：基于知识粒度的经典启发式属性约简算法

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输入：决策信息系统(S=(U,A=C igcup D,V,f))
输出：论域(U)上的约简集(RED_{U})

(begin)

(quad RED_{U} leftarrow varnothing)

(quad for quad 1leq j leq |C| quad do)

(quad quad Calculate quad Sig_{U}^{inner}(a_{j},C,D);)

(quad quad quad if quad Sig_{U}^{inner}(a_{j},C,D)>0 quad then)

(quad quad quad quad RED_{U} leftarrow (RED_{U} igcup {a_{j}});)

(quad quad quad end)

(quad quad end)

(quad Let quad B leftarrow RED_{U};)

(quad while quad GP_{U}(D mid B) eq GP_{U}(D mid C) quad do)

(quad quad for quad each quad a_{i}in (C-B) quad do)

(quad quad quad Calculate quad Sig_{U}^{outer}(a_{i},B,D);)

(quad quad quad a_{0}=max{Sig_{U}^{outer}(a_{i},B,D),a_{i} in (C-B)};)

(quad quad quad Bleftarrow (B igcup {a_{0} });)

(quad quad end)

(quad end)

(quad for quad each quad a_{i} in B quad do)

(quad quad if quad GP_{U}(D mid (B-{a_{i} }))=GP_{U}(D mid C) quad then)

(quad quad quad B leftarrow (B-{a_{i}});)

(quad quad end)

(quad end)

(quad RED_{U} leftarrow B;)

(quad return quad reduction quad RED_{U})

(end)

这就是基于知识粒度非动态属性约简算法的流程了，算法的流程虽然较多，但关键点在于等价类的划分，这点解决后，它的实现就不难了。

那么粗糙集有关的内容就暂告一段落了，系列博客介绍的也只是冰山一角，这里面还有很多很多的学问呢，有兴趣的可以查阅更多资料和文献。

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本文参考了：

• 景运革. 基于知识粒度的动态属性约简算法研究[D].西南交通大学,2017.