[CTSC2010]珠宝商

Posted 2021-03-06 xjqxjq

题目描述

题解

首先我们考虑一种做法，对于一棵树考虑枚举每个点为根去 $ ext{dfs}$ ，然后建立出特征串的 $ ext{SAM}$ ，每次走到的点计算 $ ext{right}$ 集合大小即可。效率为 $O(size^2)$ 。

考虑另一种做法，我们可以点分治，考虑 $u→x→v$ 这一条路径，我们可以考虑 $u→x$ 在特征串中的结尾位置打上标记， $x→v$ 在特征串中的开头位置打上标记，然后每个位置左右标记相乘即可。具体的方法为建立前缀树和后缀树，然后边 $ ext{dfs}$ 的时候边打标记，最后再走一遍前缀树和后缀树，记录对应点的祖先的标记总和即可，记得容斥掉同一棵子树的贡献。效率为 $O(nm+nlogn)$ 。

我们考虑将这两个暴力合并起来，即我们设定一个 $B$ ，对于 $size le B$ 的子树我们直接做第一个暴力然后返回即可，这样的子树至多有 $frac{n}{B}$ 个，所以效率为 $O(frac{n}{B}B^2)=O(nB)$ 。

对于 $size>B$ 的子树，根据点分治的性质，每个点分中心的子节点的子树的 $size$ 大小不会超过其一半，最坏情况是每次合并两个子树，由于最底层的子树大小是 $>B$ 的，而二叉树的节点数大约是叶子结点数的 $2$ 倍，所以这样的子树是 $O(frac{n}{B})$ 级别的，每次的效率为 $O(m+size)$ ， $size$ 我们可以忽略掉，所以效率为 $O(frac{n}{B}m)$ 。

因此我们平衡规划一下，即当 $B=sqrt m$ 的时候效率最优为 $O((n+m)sqrt m)$ 。

代码先咕咕咕啦