[luogu p5018] 对称二叉树

Posted 2021-03-06 crab-in-the-northeast

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对称二叉树

题目描述

一棵有点权的有根树如果满足以下条件，则被轩轩称为对称二叉树：

1. 二叉树；
2. 将这棵树所有节点的左右子树交换，新树和原树对应位置的结构相同且点权相等。

下图中节点内的数字为权值，节点外的 (id) 表示节点编号。

现在给出一棵二叉树，希望你找出它的一棵子树，该子树为对称二叉树，且节点数 最多。请输出这棵子树的节点数。

注意：只有树根的树也是对称二叉树。本题中约定，以节点 (T) 为子树根的一棵"子 树"指的是：节点(T) 和它的全部后代节点构成的二叉树。

输入输出格式

输入格式

第一行一个正整数 (n)，表示给定的树的节点的数目，规定节点编号 (1 sim n)，其中节点 (1) 是树根。

第二行 (n) 个正整数，用一个空格分隔，第 (i) 个正整数 (v_i) 代表节点 (i) 的权值。

接下来 (n) 行，每行两个正整数 (l_i, r_i)，分别表示节点 (i) 的左右孩子的编号。如果不存在左 / 右孩子，则以 (-1) 表示。两个数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出文件共一行，包含一个整数，表示给定的树的最大对称二叉子树的节点数。

输入输出样例

输入样例 #1

2
1 3
2 -1
-1 -1

输出样例 #1

1

输入样例 #2

10
2 2 5 5 5 5 4 4 2 3
9 10
-1 -1
-1 -1
-1 -1
-1 -1
-1 2
3 4
5 6
-1 -1
7 8

输出样例 #2

3

说明

【输入输出样例 1 说明】

最大的对称二叉子树为以节点 (2) 为树根的子树，节点数为 (1)。

【输入输出样例 2 说明】

最大的对称二叉子树为以节点 (7) 为树根的子树，节点数为 (3)。

【数据规模与约定】 共 (25) 个测试点。 (v_i ≤ 1000)。

测试点 (1 sim 3, n ≤ 10)，保证根结点的左子树的所有节点都没有右孩子，根结点的右 子树的所有节点都没有左孩子。

测试点 (4 sim 8, n ≤ 10)。 测试点 (9 sim 12, n ≤ 10^5)，保证输入是一棵"满二叉树" 。

测试点 (13 sim 16, n ≤ 10^5)，保证输入是一棵"完全二叉树"。

测试点 (17 sim 20, n ≤ 10^5)，保证输入的树的点权均为 (1)。

测试点 (21 sim 25, n ≤ 10^6)。

本题约定：

层次：节点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。树中任一节 点的层次等于其父亲节点的层次加 (1)。

树的深度：树中节点的最大层次称为树的深度。
满二叉树：设二叉树的深度为 (h)，且二叉树有 (2^h-1) 个节点，这就是满二叉树。

完全二叉树：设二叉树的深度为 (h)，除第 (h) 层外，其它各层的结点数都达到最大 个数，第 (h) 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

分析

2018 pj t4，现在看这道题，不得不感叹，两年前的我是有多菜……

首先分析对称二叉树的特征，以便于我们判断对称二叉树。二叉树那条纯属废话，重点是，将这棵树所有节点的左右子树交换，新树和原树对应位置的结构相同且点权相等。

考虑权值，首先对于一个根节点为(R)的树，如果他的左右节点相等，那么先递归一遍以这两个节点为根节点的左子树和右子树，再递归一遍以这两个节点为根节点的右子树和左子树。左右子树再次进行以上的操作，当两个节点都是-1，也就是都为叶子节点，return true;。但是如果在递归过程中发现u != v，不要怀疑，return false;，此时权值不对称。
上代码。

bool checkVal(int u, int v) {
    if(u == -1 && v == -1) return true;
    if(node[u].val == node[v].val && checkVal(node[u].l, node[v].r) && checkVal(node[u].r, node[v].l))
        return true;
    return false;
}

有趣的是，结构问题也顺带解决了。咋肥四？首先，如果结构不匹配，在递归过程中就会出现u == -1但v != -1的情况，或者是u != -1但v == -1的情况。这个时候，不满足第一个if，不满足第二个if，直接pass。

这种方法是不是很奇妙！

接下来是获得以每个节点为根节点的时候，这棵二叉树的大小。这个其实很好搞定，递归左右就完事。

void getSize(int u) {
    if(node[u].l != -1) {
        getSize(node[u].l);
        node[u].size += node[node[u].l].size;
    }
    if(node[u].r != -1) {
        getSize(node[u].r);
        node[u].size += node[node[u].r].size;
    }
}

在主函数中调用getSize(1)，会自动算出所有节点的size。好棒棒！

让我想想还差什么，嗯，更新答案。更新答案这点在主函数中，我们需要遍历每一个节点，然后把这个节点的左右节点编号传给checkVal函数。如果checkVal函数判定这是一棵对称二叉树，那么就尝试更新ans。

其他的就没什么了，直接上代码吧~

代码

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2020-03-09 22:53:04 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2020-03-10 00:04:03
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>

const int maxn = 1000005;

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

struct Node {
    int l;
    int r;
    int val;
    int size;
}node[maxn];

void getSize(int u) {
    if(node[u].l != -1) {
        getSize(node[u].l);
        node[u].size += node[node[u].l].size;
    }
    if(node[u].r != -1) {
        getSize(node[u].r);
        node[u].size += node[node[u].r].size;
    }
}

bool checkVal(int u, int v) {
    if(u == -1 && v == -1) return true;
    if(node[u].val == node[v].val && checkVal(node[u].l, node[v].r) && checkVal(node[u].r, node[v].l))
        return true;
    return false;
}

int main() {
    int n, ans = 0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &node[i].val);
        node[i].size = 1;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d%d", &node[i].l, &node[i].r);

    getSize(1);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(checkVal(node[i].l, node[i].r))
            ans = max(ans, node[i].size);
    
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

评测结果

AC 100：R31578398