并查集及其优化

Posted 2021-03-04 xylee

并查集

概述

性质

• 一种树形结构
• 并查集算法不支持分割一个集合

元素

• 代表元
  • 集合中的元素，用来代表这个集合
  • 一个集合内的所有元素组织成以代表元为根的树形结构
• parent[x]
  • 对于每一个元素，parent[x]指向x在树形结构上的父亲节点。如果x是根节点，则令parent[x] = x

操作

• MakeSet
  • 初始化并查集
  • 设置一个代表

  •   function MakeSet(x) // 参数 => 选定的代表元
      x.parent := x
    

• Find
  • 确定元素属于哪一个子集，返回元素所属集合的代表元
  • 方法 => 可以沿着parent[x]不断在树形结构中向上移动，直到到达根节点
  • 判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们的代表元是否相同即可

  •   function Find(x) // 参数 => 带查找的元素
      	if x.parent == x // 到达根节点
      		return x
      	else
      		return Find(x.parent)
    

• Union
  • 将两个子集合并成同一个集合

  •   function Union(x, y)
      	xRoot := Find(x)
      	yRoot := Find(y)
      	xRoot.parent := yRoot
    

并查集Uuion优化

• 并查集最基础的表示方法为数组表示
• 性能劣于链表法，因为创建的树可能会严重不平衡，某些树枝深度太高
  • 平衡优化
    • 按秩合并

      • 总是将更小的树连接至更大的树上

      • 秩 : 深度

      • 影响运行时间的是树深度，更小的树添加到更深的树的根上不会增加秩除非他们同秩

      • 单个元素秩定义为0，当两棵秩同为r的树联合时，他们的秩为r+1

      • 最坏时间复杂度O(logN)

      •   function MakeSet(x) // 初始化
              x.parent := x
              x.rank := 0 // 并查集树结构每个节点包含秩信息
        

      •   function Union(x, y) // 合并
        	  xRoot := Find(x)
        	  yRoot := Find(y)
        	  if xRoot == yRoot
              return
        	  // x和y不在同一个集合，合并他们。
        	  if xRoot.rank < yRoot.rank
              xRoot.parent := yRoot
        	  else if xRoot.rank > yRoot.rank
        	      yRoot.parent := xRoot
        	  else
        	      yRoot.parent := xRoot
        	      xRoot.rank := xRoot.rank + 1
        

    • 路径压缩
      • 执行"查找"时扁平化树结构的方法
      • 路径上每个节点都可以直接连接到根上
      • Find递归地经过树，改变每一个节点的引用到根节点，得到的树更加扁平，为以后直接或者间接引用节点的操作加速

      •   function Find(x)
          	if x.parent != x
          		x.parent := Find(x.parent) // 将每个节点引用到根节点
          	return x.parent
        

      • 渐进最优算法 : Fredman和Saks在1989年解释了O(N)的平均时间可以获得任何并查集

主要操作

• 上面的操作都是假设元素分别独属于一个独立的集合里
• 合并两个不相交集合
  • 设置一个parent数组，表示x的双亲编号
  • 合并两个不相交集合的办法就是找到其中一个集合的始祖，将另外一个集合的始祖的父亲指向它

  •   void Union(int x, int y) {
      	xRoot = Find(x); // 找到始祖
      	yRoot = Find(y); // 找到始祖
      	if (xRoot != yRoot)
      		parent[xRoot] = yRoot; // x -> y
      }
    

• 判断两个元素是否属于同一个集合
  • 寻找始祖，比较始祖是否相同

  •   bool same(int x, int y) {
      	return Find(x) == Find(y); // 比较始祖是否相同
      }
    

并查集的优化

• 路径压缩

  •   int getfather(int v) {
      	if (parent[v] == v) // 根节点
      		return v; // 返回始祖
      	else {
      		parent[v] = getfather(parent[v]); // 路径压缩【递归】
      		return parent[v]; // 返回并查集根节点
      	}
      }
    

• Rank合并
  • 将元素所在深度最小的集合合并到元素所在深度最大的集合

  •   void judge(int x, int y) {
      	// 寻找始祖
      	xRoot = Find(x);
      	yRoot = Find(y);
      	if (rank[xRoot] > rank[yRoot])
      		parent[yRoot] = xRoot;
      	else {
      		parent[xRoot] = yRoot; // 以yRoot为始祖
      		if (rank[xRoot] == rank[yRoot])
      			++rank[yRoot]; // 重要的是始祖的rank，只修改始祖的，其他的不用管
      	}
      }
    

  • 初始化

    memset(rank, 0, sizeof(int)*rank_size);
    

时空复杂度

• 时间复杂度
  • 同时使用路径压缩、按秩(rank)合并优化的程序每个操作的平均时间复杂度为O(N)
• 空间复杂度
  • O(N) N为元素数量