bzoj 2694: Lcm

Posted 2021-03-03 chdy

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T组数据,(Tleq 10000)(A,Bleq 4000000)

简述一下这道题的式子:A,B用n,m来代替(sum_{i=1}{n}sum_{j=1}^{m}mu((i,j))^2LCM(i,j))

我们可以简单推式子 推出：

(sum_{w=1}^{n}wcdot S(frac{m}{w})cdot S(frac{n}{w})cdotsum_{x|w}xcdotmu(x)mu(frac{w}{x})^2)

其中S(x)表示(sum_{i=1}^xi) 我们发现预处理后面的前缀和即可。

由于A B 最大4e6 这显然是在卡nlnn的算法 我们考虑线性筛出后面的东西。

设f(w)表示(sum_{x|w}xcdotmu(x)mu(frac{w}{x})^2) 那么f(w)其实是一个积性函数。

考虑 当w里存在p的时候 怎么筛 由于f(p^3)为0 p的更高次项也为0 那么f(p)=1-p,f(p^2)直接由f(p)*f(p)类似的式子计算即可。

这算是一个小trick吧 当w存在p的时候 我们还是可以通过除以p来获取互质 从而利用积性函数的性质来求答案。

由于答案对(2^30)取模 但是我们可以开unint 对(2^32)取模 最后 拿出后面的30位数即可。

const int MAXN=4000010;
int p[MAXN],mu[MAXN],v[MAXN];
ui f[MAXN],sum[MAXN];
int n,m,T,maxx,top;
inline void prepare()
{
	mu[1]=1;sum[1]=f[1]=1;
	rep(2,maxx,i)
	{
		if(!v[i])p[++top]=v[i]=i,mu[i]=-1,f[i]=(1-i);
		rep(1,top,j)
		{
			if(maxx/i<p[j])break;
			int ww=i*p[j];
			v[ww]=p[j];
			if(p[j]==v[i])
			{
				if(i/p[j]%p[j]!=0)f[ww]=-f[i/p[j]]*p[j];
				break;
			}
			mu[ww]=-mu[i];
			f[ww]=f[i]*f[p[j]];
		}
		sum[i]=sum[i-1]+f[i]*i;
	}
}
int main()
{
	freopen("1.in","r",stdin);
	get(T);maxx=4000000;prepare();
	while(T--)
	{
		get(n);get(m);
		if(n>m)swap(n,m);
		int w1,w2,ww;
		ui ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i=ww+1)
		{
			w1=n/i;w2=m/i;
			ww=min(n/w1,m/w2);
			ans+=(sum[ww]-sum[i-1])*((ui)(1+w1)*w1/2)*((ui)(1+w2)*w2/2);
		}
		printf("%u
",ans&((1<<30)-1));
	}
	return 0;
}