理解KMP算法

Posted 2021-03-03 shona

 

由暴力匹配引入KMP算法 ---->

暴力匹配算法

 问题：有一个文本串S，和一个模式串P，现在要查找P在S中的位置。

 如果用暴力匹配的思路，并假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置，则有：

• 如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++，继续匹配下一个字符；
• 如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0。相当于每次匹配失败时，i 回溯，j 被置为0。（之前已经匹配好的j-1个字符串全推翻）

 

示例：（上面S, 下面P）

比如从A这里开始匹配上了：

 

 一直这样匹配下去：

 

 到这里匹配不上了：

 

就回滚回去重新开始：

 

这种回滚的问题在于：

在之前第4步匹配中，我们已经得知S[5] = P[1] = B，而P[0] = A，即P[1] != P[0]，故S[5]必定不等于P[0]，所以回溯过去必然会导致失配。

就是说，图上S中红框B我们之前就知道不等于下面这个红框A了，回溯回去也没用。

那有没有一种算法，让i 不往回退，只需要移动j 即可呢？

YES ===> KMP算法，它利用之前已经部分匹配这个有效信息，保持i 不回溯，通过修改j 的位置，让模式串尽量地移动到有效的位置。

 

KMP算法

Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为 “KMP 算法”，常用于在一个文本串 S 内查找一个模式串 P 的出现位置，这个算法由 Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris 三人于 1977 年联合发表，故取这三人的姓氏命名此算法。

下面先直接给出 KMP 的算法流程（后续会详述）：

假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置：

• 如果next[j] = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++，继续匹配下一个字符；
• 如果next[j] != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]。此举意味着失配时，模式串P相对于文本串S向右移动了j - next [j] 位。（不像上面的暴力匹配要移动i）

示例：

接着看上面的例子，到这里发现匹配不到：

 

然后我们回退到这里（i没有变，j向右移动4位 ==> 为什么要向右移动4位呢，因为移动4位后，模式串中又有个“AB”可以继续跟S[8]S[9]对应着，从而不用让i 回溯)：KMP算法的思想是，设法利用这个已知信息，不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。

 

可以看到，失配时，模式串向右移动的位数为：已匹配字符数 - 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值

 

完整的例子：

如果给定文本串“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和模式串“ABCDABD”，现在要拿模式串去跟文本串匹配。

移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值  ==> 最大长度表  /  NEXT数组

原模式串子串对应的各个前缀后缀的公共元素的最大长度表/next 数组为：

我们看下上表是如何构造的：

最大长度值（也称"部分匹配值"）就是"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度。以"ABCDABD"为例，

　　－　"A"的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；

　　－　"AB"的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；

　　－　"ABC"的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；

　　－　"ABCD"的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；

　　－　"ABCDA"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为"A"，长度为1；

　　－　"ABCDAB"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为"AB"，长度为2；

　　－　"ABCDABD"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为0。

 

 

 再copy一遍上面的算法流程：

• 如果next[j] = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++，继续匹配下一个字符；
• 如果next[j] != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]。此举意味着失配时，模式串P相对于文本串S向右移动了j - next [j] 位。（不像上面的暴力匹配要移动i）

 

示例匹配过程如下：

 

1. 因为模式串中的字符A跟文本串中的字符B、B、C、空格一开始就不匹配，直接将模式串不断的右移一位即可，直到模式串中的字符A跟文本串的第5个字符A匹配成功：

 

2. 继续往后匹配，当模式串最后一个字符D跟文本串匹配时失配，模式串需要向右移动。但向右移动多少位呢？因为此时已经匹配的字符数为6个（ABCDAB），然后根据《最大长度表》可得失配字符D的上一位字符B对应的长度值为2，所以根据之前的结论，可知需要向右移动6 - 2 = 4 位。

3. 模式串向右移动4位后，发现C处再度失配，因为此时已经匹配了2个字符（AB），且上一位字符B对应的最大长度值为0，所以向右移动：2 - 0 =2 位。

 

4. A与空格失配，向右移动1 位。

 

5. 继续比较，发现D与C 失配，故向右移动的位数为：已匹配的字符数6减去上一位字符B对应的最大长度2，即向右移动6 - 2 = 4 位。

 

6. 经历第5步后（匹配CDABD的部分），发现匹配成功，过程结束。

通过上述匹配过程可以看出，问题的关键就是寻找模式串中最大长度的相同前缀和后缀，基于此匹配。

 

关键：求解Next数组  ==> 可以参考下面的[参考 4]。

 

参考 1 

参考 2

参考 3

参考 4