P1120 小木棍 ［数据加强版］ 题解

Posted 2021-03-02 bifanwen

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简要题意：

把若干 (leq 50) 的小木棍拼成若干长度相同的长木棍（一个小木棍也可以作为一根长木棍）。求可以拼成的长木棍的最小长度。

暴力出奇迹

一看数据范围，(n leq 65).

这一看就是指数级复杂度 我还没见过什么 (O(n^5)) 的算法。。

首先考虑 ( exttt{dfs})，枚举长木棍的长度，然后用 ( exttt{dfs}) 进行暴力枚举当前的小木棍分给哪一组（可以算出组数的），验证即可。

对这种最 卑劣 不太行的搜索，下面开始大力剪枝：

1. 假设木棍总长度为 (s)，则长木棍的长度 (x) 应满足 (x | s)，否则分不成整数组。所以不是 (s) 因数的情况可以直接跳过。如果小于小木棍的最长长度也可以跳过，因为最长的木棍没法拼了。

2. 如果你现在需要长度 (5) 的木棍拼成一个长木棍，你会选 (5) 一根 还是 (2 + 3) 两根呢？

显然选 (5). 因为小的木棍永远比大木棍灵活，大木棍能拼的小木棍也能，但小木棍能拼的大木棍未必。

所以将木棍长度最大到小排序，优先选大的。

3. 如果当前木棍拼接失败，不再尝试相同长度的木棍，直接跳到后面一个不同的。为什么呢？假设给定数据：

10
6 6 6 3 3 3 3 3 3 3

总和为 (30)，你在验证 (10).

你拼上一个 (6)，又拼上一个 (3)，不行；然后你就把后面的 (3) 一个一个全都尝试一遍发现不行。

然后你又试第 (2) 个 (6)，又是 (7) 个 (3) 枚举一遍，然后第 (3) 个。

但是，状态的大量重复 导致根本没有必要搜这么多次。

我当前长度都失败，换个相同长度的不也是失败？

所以，用 ( exttt{nxt_i}) 表示与 (a_i) 不同的（排序后）编号 (geq i) 的最小编号（( exttt{nxt_n=n})），失败后直接往 ( exttt{nxt}) 上面跳就可以了。

4. 假设当前离一个长木棍的长度相差 ( ext{no})，那么直寻找 (leq no) 的。

你可能说这循环扫一遍？但是经过排序的数组明明可以二分 。

所以，又优化了一点。（据我所知，这个优化不写应该也可以 ( ext{AC}) 吧，但是写了比较好）

5. 每次木棍是否用过的标记数组，不需要每次 ( exttt{memset})，可以在搜索中：选当前木棍则先标记，然后进入下一层；下一层结束之后再取消标记，为的是不要影响再一次回溯。这样可以用搜索同级时间维护。（这是一个很常用的技巧）

6. 如果以及发现，每个木棍都拼了上去，那么不用再回溯了，直接输出答案结束整个程序。（其实也不用一层层的退出，直接结束程序，用 ( ext{exit(0)})）

7. 如果当前木棍接上之后正好能拼成一根长木棍，然后经过回溯发现失败了，那么就把之前拼在这个长木棍上的依次废掉，重新拼。为什么呢？

因为，我们是先选长木棍，肯定比短木棍来拼要优（上述已经说明），所以如果长木棍都拼不了，那当前这条长木棍的拼法就是不对的。所以需要改变之前的拼法。

为什么是“依次”呢？假设我们先废掉了一根木棍，然后重新拼；这时如果合法就直接结束了，否则回溯到此不合法。然后就把再之前的木棍废掉，依次类推。

8. 如果已经成功拼成了（组数-1） 根木棍，由于整除性，剩下的部分肯定能拼成了。所以可以直接判定正确。

9. 按照管理员大大的暗示 把 (>50) 的直接去掉即可。

10. 可以先从 (1) ~ (lfloor frac{s}{2} floor)，如果最终不合法再可以输出 (s).（因为 (s) 肯定合法）其实可以先枚举因数，但是不会有多少的优化。

有了这些剪枝，我们就可以愉快地 暴力碾标算 啦！

时间复杂度：未知。（难以分析）

实际得分：(100pts).（反正对了就行）

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘) {if(ch==‘-‘) f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘,ch=getchar();return x*f;}

int n,m,a[66],s=0,len;
int nxt[66]; bool ok,h[66];

inline void dfs(int dep,int last,int no) {
	if(!no) { //需要重新开始拼一根
		if(dep==m) {
			printf("%d
",len); exit(0); //退出
		} int wz;
		for(int i=1;i<=a[0];i++)
			if(!h[i]) {wz=i;break;}
		h[wz]=1; //第一个没有拼的，就把它拼上去（因为长的比短的优）
		dfs(dep+1,wz,len-a[wz]);
		h[wz]=0; if(ok) {
			printf("%d
",len); exit(0);
		} //退出
	} int l=last+1,r=a[0];
	while(l<r) {
		int mid=(l+r)>>1;
		if(a[mid]<=no) r=mid;
		else l=mid+1; //二分可以拼的最长木棍
	} for(int i=l;i<=a[0];i++)
		if(!h[i]) {
			h[i]=1; dfs(dep,i,no-a[i]);
			h[i]=0; if(ok) {
				printf("%d
",len); exit(0); //直接退出
			} if(no==a[i] || no==len) return; //发现拼不了
			i=nxt[i]; if(i==a[0]) return; //说明整根拼不上
		}
}

int main(){
	n=read();
	for(int i=1,t;i<=n;i++) {
		t=read(); //把 >50 的剪掉
		if(t<=50) a[++a[0]]=t,s+=t;
	} sort(a+1,a+1+a[0]); reverse(a+1,a+1+a[0]); //从大到小排序
	nxt[a[0]]=a[0]; for(int i=a[0]-1;i>0;i--)
		nxt[i]=(a[i]==a[i+1])?nxt[i+1]:i; //后面和自己不相同的最小编号
	for(len=a[1];len<=(s>>1);len++) { //位运算再次优化
		if(s%len) continue; //整除
		m=s/len; ok=0; h[1]=1; //标记
		dfs(1,1,len-a[1]); h[1]=0;
	} printf("%d
",s);
	return 0;
}