[CF1332E] Height All the Same - 组合数学

Posted 2021-03-02 mollnn

对一个 (n imes m) 的矩阵，每个位置有权值 (a_{ij})，每次操作你可以将一个位置 (+2)，或将四相邻的两个位置各 (+1)。如果一个矩阵经过若干次操作，可以使得所有位置权值相同，我们称它为好矩阵。问有多少个好矩阵满足大小为 (n imes m)，且每个位置的权值都在 ([L,R]) 内。

Solution

首先观察到，如果 (nm) 是奇数，一定合法；如果 (nm) 是偶数，则当且仅当 (sum_{(i,j)} a_{i,j}) 是偶数时合法

(nm) 是奇数的方案数位 ((r-l+1)^{nm})

(nm) 是偶数时，若 (r-l+1) 是偶数，则所有方案中总和奇偶各占据一半，故 ((r-l+1)^{nm}/2)；若 (r-l+1) 是奇数，则显然总和为偶数的比总和为奇数的方案数多 (1)，于是答案为 (((r-l+1)^{nm}+1)/2)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 998244353;
int n,m,l,r,k;

int qpow(int p,int q) {
    return (q&1?p:1) * (q?qpow(p*p%mod,q/2):1) % mod;
}

signed main() {
    cin>>n>>m>>l>>r;
    k=r-l+1;
    if(n*m%2) cout<<qpow(k,n*m);
    else if(k&1) cout<<(qpow(k,n*m)+1)*((mod+1)/2)%mod;
    else cout<<(qpow(k,n*m))*((mod+1)/2)%mod;
}