排序与搜索

Posted 2021-03-02 juno3550

1. 排序

1.1 冒泡排序

1.2 选择排序

1.3 插入排序

1.4 希尔排序

1.5 快速排序

1.6 归并排序

2. 搜索

 

 

1. 排序

排序算法（英语：Sorting algorithm）是一种能将一串数据依照特定顺序进行排列的一种算法。

排序算法的稳定性

稳定性：稳定排序算法会让原本有相等键值的纪录维持相对次序。也就是如果一个排序算法是稳定的，当有两个相等键值的纪录R和S，且在原本的列表中R出现在S之前，在排序过的列表中R也将会是在S之前。

当相等的元素是无法分辨的，比如像是整数，稳定性并不是一个问题。然而，假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。

(4, 1) (3, 1) (3, 7) (5, 6)

在这个状况下，有可能产生两种不同的结果，一个是让相等键值的纪录维持相对的次序，而另外一个则没有：

(3, 1) (3, 7) (4, 1) (5, 6)  （维持次序）
(3, 7) (3, 1) (4, 1) (5, 6)  （次序被改变）

不稳定排序算法可能会在相等的键值中改变纪录的相对次序，但是稳定排序算法从来不会如此。不稳定排序算法可以被特别地实现为稳定。作这件事情的一个方式是人工扩充键值的比较，如此在其他方面相同键值的两个对象间之比较，（比如上面的比较中加入第二个标准：第二个键值的大小）就会被决定使用在原先数据次序中的条目，当作一个同分决赛。然而，要记住这种次序通常牵涉到额外的空间负担。

常见算法效率比较

性能从优到劣：

 

1.1 冒泡排序

介绍

冒泡排序（英语：Bubble Sort）是一种简单的排序算法。它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的大小顺序有误则把它们交换过来。遍历数列的工作是重复地进行直到没有元素再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

冒泡排序算法的运作如下：

• 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大（升序），就交换他们两个。
• 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。
• 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
• 持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对元素需要比较。

交换过程图示（第一次遍历）

 那么我们需要进行n-1次冒泡过程，每次对应的比较次数如下图所示：

演示效果

代码实现

 1 def bubble_sort(alist):
 2     "冒泡排序"
 3     n = len(alist)
 4     for j in range(n-1):  # 控制遍历的次数（图示中的Pass）
 5         count = 0
 6         for i in range(n-1-j):  # 每次遍历需要比较的次数，逐渐减少（图示中的Comparisons）
 7             if alist[i] > alist[i+1]:
 8                 alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]
 9             count += 1
10         # 优化算法复杂度，若第一遍遍历时没有交换元素，即代表元素本身已排好序。例如[1, 2, 3]
11         # 无需再进行第二次遍历，即可直接退出
12         if count == 0:
13             return
14 
15                 
16 # j: 0     i: range(n-1-0) = n-1
17 # j: 1     i: range(n-1-1) = n-2
18 # j: 2     i: range(n-1-2) = n-3
19 # ...
20 # j: n-2   i: range(n-1-(n-2)) = 1
21 
22 
23 if __name__ == "__main__":
24     li = [1, 21, 4, 2, 56, 2, 34, 67]
25     bubble_sort(li)
26     print(li)  # [1, 2, 2, 4, 21, 34, 56, 67]

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(n)（表示第一次遍历发现没有任何可以交换的元素，则排序结束）
• 最坏时间复杂度：O(n^2)
• 稳定性：稳定

 

1.2 选择排序

选择排序（Selection sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理如下：

1. 在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置。
2. 从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。
3. 以此类推，直到所有元素均排序完毕。

选择排序的主要优点与数据移动有关。如果某个元素位于正确的最终位置上，则它不会被移动。选择排序每次交换一对元素，它们当中至少有一个将被移到其最终位置上，因此对n个元素的表进行排序总共进行至多n-1次交换。在所有的完全依靠交换去移动元素的排序方法中，选择排序属于非常好的一种。

排序过程图示

 

 

红色表示当前最小值，黄色表示已排序序列，蓝色表示当前位置。

演示效果

 代码实现

 1 def selected_sort(alist):
 2     n = len(alist)
 3     # 需要进行n-1次选择操作
 4     for i in range(n-1):
 5         # 记录最小位置
 6         min_index = i
 7         # 从i+1位置到末尾，选择出最小的元素
 8         for j in range(i+1, n):
 9             if alist[j] < alist[min_index]:
10                 min_index = j
11         # 如果选择出的元素不在正确位置，进行交换
12         if min_index != i:
13             alist[i], alist[min_index] = alist[min_index], alist[i]
14 
15 
16 alist = [54, 226, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20]
17 selected_sort(alist)
18 print(alist)

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(n^2)
• 最坏时间复杂度：O(n^2)
• 稳定性：不稳定（考虑升序每次选择最大的情况）

 

1.3 插入排序

插入排序（英语：Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。

排序过程图示

演示效果

 代码实现

 1 def insert_sort(alist):
 2     n = len(alist)
 3     # 从第二个位置开始（未排序数据），即把下标为1的元素开始向前插入（有序数据）
 4     for i in range(1, n):
 5         # 从第i个元素开始向前比较，如果小于前一个元素，则交换
 6         for j in range(i, 0, -1):
 7             if alist[j] < alist[j-1]:
 8                 alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]
 9 
10 
11 alist = [54, 226, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20]
12 insert_sort(alist)
13 print(alist)

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(n)（升序排列，序列已经处于升序状态）
• 最坏时间复杂度：O(n^2)
• 稳定性：稳定

 

1.4 希尔排序

希尔排序（Shell Sort）是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。该方法因DL．Shell于1959年提出而得名。 希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止。

希尔排序过程

希尔排序的基本思想是：将数组列在一个表中并对列分别进行插入排序，重复这过程，不过每次用更长的列（步长更长了，列数更少了）来进行。最后整个表就只有一列了。将数组转换至表是为了更好地理解这算法，算法本身还是使用数组进行排序。

例如，假设有这样一组数 [13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ]，如果我们以步长为5开始进行排序，我们可以通过将这列表放在有5列的表中来更好地描述算法，这样他们就应该看起来是这样（竖着的元素是步长组成）：

13 14 94 33 82
25 59 94 65 23
45 27 73 25 39
10

然后我们对每列进行排序：

10 14 73 25 23
13 27 94 33 39
25 59 94 65 82
45

将上述四行数字，依序接在一起时我们得到：[ 10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45 ]。这时10已经移至正确位置了，然后再以3为步长进行排序：

10 14 73
25 23 13
27 94 33
39 25 59
94 65 82
45

排序之后变为：

10 14 13
25 23 33
27 25 59
39 65 73
45 94 82
94

最后以1步长进行排序（此时就是简单的插入排序了）。

示例分析

演示效果

代码实现

 1 def shell_sort(alist):
 2     n = len(alist)
 3     # 初始步长
 4     gap = n / 2
 5     while gap > 0:
 6         # 按步长进行插入排序
 7         for i in range(gap, n):
 8             j = i
 9             # 插入排序
10             while j>=gap and alist[j-gap] > alist[j]:
11                 alist[j-gap], alist[j] = alist[j], alist[j-gap]
12                 j -= gap
13         # 得到新的步长
14         gap = gap / 2
15 
16 alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
17 shell_sort(alist)
18 print(alist)

时间复杂度

• 最优时间复杂度：根据步长序列的不同而不同
• 最坏时间复杂度：O(n2)
• 稳定想：不稳定

 

1.5 快速排序

快速排序（英语：Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

步骤为：

1. 从数列中挑出一个元素，称为“基准”(pivot)。
2. 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。
3. 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

排序过程图示

演示效果

 代码实现

方式一：改变原列表

 1 def quick_sort(alist, start, end):
 2     # 递归的退出条件
 3     if start >= end:
 4         return
 5     # 设定起始元素为要寻找位置的基准元素
 6     mid = alist[start]
 7     # low为从左往右的游标
 8     low = start
 9     # high为从右往左的游标
10     high = end
11     # 当low与high未重合
12     while low < high:
13         # 当low与high未重合时，若high指向的元素不比基准元素小，则high向左移动一位
14         while low < high and alist[high] >= mid:
15             high -= 1
16         # 若high指向的元素比基准元素小，则推出循环，交换元素位置
17         alist[low] = alist[high]
18         # 当low与high未重合时，若low指向的元素比基准元素小，则low向右移动一位
19         while low < high and alist[low] < mid:
20             low += 1
21         # 若low指向的元素比基准元素大，则推出循环，交换元素位置
22         alist[high] = alist[low]
23     # 当low与high重合，推出循环，此时所指位置为基准元素的正确位置
24     # 将基准元素放到该位置
25     alist[low] = mid
26     # 对基准元素左边的子序列进行快速排序
27     quick_sort(alist, start, low-1)
28     # 对基准元素右边的子序列进行快速排序
29     quick_sort(alist, low+1, end)
30 
31 
32 alist = [54, 226, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20]
33 quick_sort(alist, 0, len(alist)-1)
34 print(alist)

方式二：不改变原列表

 1 def quick_sort(alist):
 2     if len(alist) <= 1:
 3         return alist
 4     pivot = alist[0]
 5     left = [x for x in alist if x < pivot]
 6     middle = [x for x in alist if x == pivot]
 7     right = [x for x in alist if x > pivot]
 8     return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right)
 9 
10 
11 alist = [54, 226, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20]
12 print(quick_sort(alist))

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(nlogn)
• 最坏时间复杂度：O(n^2)
• 稳定性：不稳定

从一开始快速排序平均需要花费O(n log n)时间的描述并不明显。但是不难观察到的是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，使用O(n)的时间。在使用结合（concatenation）的版本中，这项运算也是O(n)。

在最好的情况，每次我们运行一次分区，我们会把一个数列分为两个几近相等的片段。这个意思就是每次递归调用处理一半大小的数列。因此，在到达大小为一的数列前，我们只要作log n次嵌套的调用。这个意思就是调用树的深度是O(log n)。但是在同一层次结构的两个程序调用中，不会处理到原来数列的相同部分；因此，程序调用的每一层次结构总共全部仅需要O(n)的时间（每个调用有某些共同的额外耗费，但是因为在每一层次结构仅仅只有O(n)个调用，这些被归纳在O(n)系数中）。结果是这个算法仅需使用O(nlogn)时间。

 

1.6 归并排序

归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。

将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。

归并排序的分析

 

 代码实现

 1 def merge_sort(alist):
 2     """归并排序"""
 3     n = len(alist)
 4     if n <= 1:
 5         return alist
 6     mid = n // 2
 7     # left 采用归并排序后形成的有序的新的列表
 8     left_li = merge_sort(alist[:mid])
 9     # right 采用归并排序后形成的有序的新的列表
10     right_li = merge_sort(alist[mid:])
11 
12     # 将两个有序的子序列合并为一个新的整体
13     # merge(left, right)
14     left_pointer, right_pointer = 0, 0
15     result = []
16 
17     while left_pointer < len(left_li) and right_pointer < len(right_li):
18         if left_li[left_pointer] <=  right_li[right_pointer]:
19             result.append(left_li[left_pointer])
20             left_pointer += 1
21         else:
22             result.append(right_li[right_pointer])
23             right_pointer += 1
24 
25     result += left_li[left_pointer:]
26     result += right_li[right_pointer:]
27     return result
28 
29 
30 if __name__ == "__main__":
31     li = [54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20]
32     print(li)
33     sorted_li = merge_sort(li)
34     print(li)
35     print(sorted_li)

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(nlogn)
• 最坏时间复杂度：O(nlogn)
• 稳定性：稳定

 

2. 搜索

搜索是在一个项目集合中找到一个特定项目的算法过程。搜索通常的答案是真的或假的，判断该项目是否存在。

搜索的几种常见方法：顺序查找、二分法查找、二叉树查找、哈希查找等。

二分法查找

二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。

算法步骤：

1. 首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功。
2. 否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。
3. 重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

代码实现

方式一：递归实现

 1 def binary_search(alist, item):
 2     """二分查找法：递归实现"""
 3     n = len(alist)
 4     if n > 0:
 5         mid = n // 2
 6         if item == alist[mid]:
 7             return True
 8         elif item < alist[mid]:
 9             return binary_search(alist[:mid], item)
10         else:
11             return binary_search(alist[mid+1:], item)
12     # n=0，即未找到该元素
13     return False
14 
15 
16 if __name__ == ‘__main__‘:
17     li = [1, 2, 34, 45, 65, 78]
18     print(binary_search(li, 2))  # True
19     print(binary_search(li, 44))  # False

方式二：非递归实现

 1 def binary_search(alist, item):
 2     """二分查找法：非递归实现"""
 3     n = len(alist)
 4     first = 0  # 第一个下标
 5     last = n - 1  # 最后一个下标
 6     while first <= last:
 7         mid = (first + last) // 2  # 中间下标
 8         if item == alist[mid]:
 9             return True
10         elif item < alist[mid]:
11             last = mid - 1
12         else:
13             first = mid + 1
14     return False
15 
16 
17 if __name__ == ‘__main__‘:
18     li = [1, 2, 34, 45, 65, 78]
19     print(binary_search(li, 2))  # True
20     print(binary_search(li, 44))  # False

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(1)
• 最坏时间复杂度：O(logn)