CF506E Mr. Kitayuta's Gift

Posted 2021-03-01 fruitea

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Solution

题意转化之后就是求有多少个长度是(n+|s|)的回文串，(s)是它的子序列。

先考虑(n+|s|)为偶数的情况。

可以大力dp计数，设(f_{x,l,r})表示填了前(x)个和后(x)个字符，在能匹配就匹配的的情况下，还剩(s[ldots r])这段区间没有匹配上的方案数。注意能匹配就匹配，这个限制可以保证不会算重。另外设(g_x)表示在填了前(x)个和后(x)个字符之后，已经可以和(s)完全匹配上的方案数。

那么分情况讨论一下(f)的转移：

• (s_l eq s_r)

  [f_{x,l,r}->f_{x+1,l+1,r} ]
  [f_{x,l,r}->f_{x+1,l,r-1} ]
  [24 imes f_{x,l,r}->f_{x+1,l,r} ]

  这个情况下填第(x+1)个字符，最多只能匹配(s_l,s_r)中的一个。

• (s_l=s_r)

  这个时候要看能否一步到位，把(s)给匹配完

  • (r-l+1le 2)

    [f_{x,l,r}->g_{x+1} ]
    [25 imes f_{x,l,r}->f_{x+1,l,r} ]

  • (r-l+1> 2)

    [f_{x,l,r}->f_{x+1,l+1,r-1} ]
    [25 imes f_{x,l,r}->f_{x+1,l,r} ]

另外还有(g)自己的转移：

[26 imes g_x->g_{x+1} ]

答案就是(g_{(n+|s|)/2})。加上矩阵快速幂加速复杂度可以达到(O(|s|^6log(n)))。

继续考虑优化。

上面的(dp)其实给了一定的提示，(f)的第一维都是从(x)转移到(x+1)，((l,r))两维则是转移给((l,r))自己，以及视(s_l,s_r)的异同情况转移给((l+1,r-1))或者((l+1,r)/(l,r-1))。

抛掉第一维，考虑对所有的((l,r))建点。如果(s_l=s_r)，就向自己连25个自环，向点((l+1,r-1))连1条有向边，或者向点(g)连一条边权为1的有向边。否则，就向自己连24个自环，分别向点((l+1,r))和((l,r-1))连1条有向边。最后点(g)向自己连26个自环。如下图：

图中绿点就是(s_l=s_r)的状态，红点就是(s_l eq s_r)的状态。

那么现在问题就转化成了(dag)上确定长度( (frac{n+|s|}{2}))的路径计数。

进一步发现，对于一条路径，不考虑上面的自环，当红点数量为(k)时，绿点的数量就是(lceilfrac{|s|-k}{2} ceil)，且指向终点的点一定是绿点。那么交换任意两点的位置，对答案的贡献是不变的(不考虑自环)。那么本质不同的路径就只有(O(|s|))条。我们把这些路径上的点按颜色排列，红点在前，绿点在后，进一步优化建图以后就只剩下(O(|s|))个点。见下(来自https://www.cnblogs.com/CQzhangyu/p/8685601.html)：

?

图中没有把起点画出来，起点应该是连接最左侧的红点和绿点，因为可以一个红点也不经过。

这张图中，每个点代表的不再是((l,r))这一个状态，变成了大概(len=r-l+1)这个等价类(绿点代表两个(len))，红点出发的边使(len-1)，绿点出发的边使(len-2)。

图上有一类边我们还不知道数量：红点到绿点的边。这类边上就存储了所有有这么多个红点的路径数量。

考虑设(cnt_{x,l,r})表示原图从起点出发到((l,r))节点，经过了(x)个红点的路径数量。使用记忆化搜索(O(|s|^3))可以得到。

那么现在的图上红点到绿点的连边，假设这是条经过了(k)个红点的路径，那么数量就是(sum cnt_{k,i,i}+[s_i==s_{i+1}]cnt_{k,i,i+1})。

这个时候使用矩阵快速幂加速，复杂度就降为(O(|s^3|log(n)))。

构建转移矩阵时会发现是个上三角矩阵，做乘法的时候约束一下(for)循环范围常数变成原来的(frac{1}{6})，可以通过此题。

还剩下(n+|s|)为奇数的情况。先按照偶数的情况算出来之后去掉不合法的即可。

总长度是奇数的话，如果整条长为(lceilfrac{n+|s|}{2} ceil)的路径，最后一步恰好是从原图的一个((i,i+1))点走到终点的话，那么它就不合法，因为现在最后一步只能填一个字符了。

所以对这种路径计数就好了。把图上红点到绿点(g_{k,i,i})的边去掉，再把终点的自环去掉，再跑一遍就是想要减掉的东西。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define REP(i,a,b) for(int i=(a),_ed=(b);i<=_ed;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=(a),_ed=(b);i>=_ed;--i)
#define mp(x,y) make_pair((x),(y))
#define sz(x) (int)(x).size()
#define pb push_back
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
inline int read(){
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch==‘-‘)f=0;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+(ch^‘0‘);ch=getchar();}
    return f?x:-x;
}

const int N=3e2+5,mod=1e4+7;
int n,len,m,vis[N][N][N],cnt[N][N][N];
char s[N];
inline void inc(int& x,int y){x=x+y<mod?x+y:x+y-mod;}
inline void dec(int& x,int y){x=x-y>=0?x-y:x-y+mod;}
struct matrix{
    int x[N][N],flg;
    inline matrix(int _flg=0):flg(_flg){memset(x,0,sizeof x);}
    inline int* operator[](int p){return x[p];}
    inline const int* operator[](int p)const{return x[p];}
    inline matrix operator*(const matrix& o){
	matrix ans;
	if(!flg)REP(i,1,m)REP(k,i,m)REP(j,k,m)inc(ans[i][j],1ll*x[i][k]*o[k][j]%mod);
	else REP(i,1,m)REP(j,1,m)inc(ans[1][j],1ll*x[1][i]*o[i][j]%mod);
	return ans;
    }
    inline void print(){REP(i,1,m)fprintf(stderr,"%d%c",x[i][200]," 
"[i==m]);fprintf(stderr,"

");}
};
void ksm(matrix& ans,matrix& b,int n){
    //b.print();
    for(;n;n>>=1,b=b*b)if(n&1)ans=ans*b;
}

inline int dfs(int i,int l,int r){
    if(i<0)return 0;
    if(vis[i][l][r])return cnt[i][l][r];
    vis[i][l][r]=1;
    if(l==1&&r==len)return cnt[i][l][r]=!i;
    if(1<l&&r<len&&s[l-1]==s[r+1])inc(cnt[i][l][r],dfs(i,l-1,r+1));
    if(1<l&&s[l-1]!=s[r])inc(cnt[i][l][r],dfs(i-1,l-1,r));
    if(r<len&&s[l]!=s[r+1])inc(cnt[i][l][r],dfs(i-1,l,r+1));
    return cnt[i][l][r];
}

int main(){
    // freopen("in.in","r",stdin);freopen("imafool.err","w",stderr);
    scanf("%s",s+1);len=strlen(s+1),m=len+(len+1)/2;
    n=read();
    matrix f(1),g;
    REP(t,0,len-1){
	int c=0;
	REP(i,1,len)inc(c,dfs(t,i,i)),(i<len&&s[i]==s[i+1])?inc(c,dfs(t,i,i+1)):void();
	if(!t){
	    f[1][1]=1,f[1][len]=c;
	    g[m][m]=26;
	    REP(i,len,m-1)g[i][i+1]=1,g[i][i]=25;
	}
	else{
	    g[t][m-(len-t+1)/2]=c,g[t][t]=24;
	    if(t<len-1)g[t][t+1]=1;
	}
    }
    ksm(f,g,(n+len+1)/2);
    if(~(n+len)&1)return printf("%d
",f[1][m]),0;
    int res=f[1][m];
    f=matrix(1),g=matrix();
    REP(t,0,len-1){
	int c=0;
	REP(i,1,len-1)if(s[i]==s[i+1])inc(c,dfs(t,i,i+1));
	if(!t){
	    f[1][1]=1,f[1][len]=c;
	    REP(i,len,m-1)g[i][i+1]=1,g[i][i]=25;
	}
	else{
	    g[t][m-(len-t+1)/2]=c,g[t][t]=24;
	    if(t<len-1)g[t][t+1]=1;
	}
    }
    ksm(f,g,(n+len+1)/2);
    dec(res,f[1][m]);
    return printf("%d
",res),0;
}

/*
  0:S
  1~len-1:n24
  len~m-1:n25
  m:T
 */