3.树——二叉树

Posted 2021-02-28 zhousya

1. 什么是树

　　[1] 树是由节点和边组成，有且仅有一个节点成为根节点；

　　[2] 树中有若干个不相交的子树，每个子树本身也是一棵树；

　　[3] 除根节点以外，树中每个节点只有一个父节点，但可以有多个子节点；

　　[4] 空集合也是树，即为空树，空树中没有结点；

2. 树的组成

　　[1] 结点的度：一个结点含有的子结点的个数；　　 eg:结点2的度为2

　　[2] 树的度：一棵树中，最大的结点的度；　　　　eg：树的度为2

　　[3] 根结点：所有节点的祖先，没有父亲的结点；　eg：结点1

　　[4] 父结点：含有子结点的结点；　　　　　　　　eg：结点2是结点4,5的父节点

　　[5] 子结点：度为0的结点；　　　　　　　　　　 eg：结点4,5是结点2的子节点

　　[6] 子孙结点：以某结点为根的子树中任一结点；　eg：结点2,3 … 10是结点1的子孙结点

　　[7] 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点； 　　　　 eg:结点4和6互为堂兄弟结点；

　　[8] 叶子结点：（终端结点）度为0的结点；　　　 eg:结点8,9,10为叶子结点；

　　[9] 深度：树中结点的最大层次；　　　　　　　　eg：该树的深度为4；

图1. 树的组成

 3. 树的分类

　　[1] 一般树：任意一个节点的子节点的个数都不受限制；

　　[2] 二叉树：

       　　一般二叉树：每个节点最多含有两个子树；

      　　 满二叉树：除了叶子结点之外的每个结点都有两个孩子结点，每一层都被完全填充；

       　　完全二叉树：除了最后一层之外的其他每一层都被完全填充，并且所有结点都保持向左看齐；（见图1）

　　[3] 森林：由m棵互不相交的树的集合（m>=0）；

4. 树的存储

　　[1] 二叉树的存储：

　　顺序存储——数组

　　　　　　　　优点：查找某个节点的父节点和子节点（也包括有没有子节点）速度很快；

　　　　　　　　缺点：耗用内存空间过大；

　　　　　　　存储结构：typedef  ElemType  BTree[MaxSize];

　　　　　　　　举例说明： 

图2. 二叉树 

　　链式存储——链表

　　　　　　　　优点：耗用内存空间小

　　　　　　　　缺点：查找父节点不方便

　　　　　　　　节点结构：typedef struct node{
　　　　　　　　　　　　　　　　ElemType data;
　　　　　　　　　　　　　　　　struct node lchild,rchild;
　　　　　　　　　　　　   }

　　[2] 一般树的存储

图3. 一般树

 

 　　　　① 双亲表示法：取一块连续的内存空间，在存储每个结点的同时，各自都附加一个记录其父结点位置的变量。——求父结点方便，不方便求子结点；

　　　　数组存储: 

　　　　② 孩子表示法：将树中的每个结点的孩子结点排列成一个线性表，用链表存储起来。对于含有 n 个结点的树来说，就会有 n 个单链表，将 n 个单链表的头指针存储在一个线性表中——适合找孩子结点；

　　　　链表存储：

 图4. 孩子表示法

 

 　　　　③ 双亲孩子表示法：结合双亲表示法和孩子表示法。

图5. 双亲孩子表示法

　　　　④ 二叉树表示法：由孩子指针域、数据域和兄弟指针域组成，其中孩子指针域，表示指向当前结点的第一个孩子结点，兄弟结点表示指向当前结点的下一个兄弟结点。

 

图6. 二叉树表示法

 

　　 [3] 森林的存储

 　　　　二叉树表示法：

 

 

图7. 初始森林

 

 

 

图8. 将森林中的每棵子树变为二叉树

 

 

 

图9. 合并每一棵二叉树

 

 5. 二叉树的遍历

 

 

 图10. 二叉树

　　[1] 先序遍历： （根左右） ABDGEHCFI

　　[2] 中序遍历:  (左根右)  GDBHEAFIC

　　[3] 后序遍历:  (左右根)  GDHEBIFCA    

　　[4] 已知两种遍历序列求原始二叉树:

　　　　　　(1)先序，中序和后序三种遍历中，只知道其中任意一个是无法还原原始的树结构。

　　　　　　(2)通过先序和中序 或者 中序和后序 两种方式可以还原原始的二叉树。但是通过先序和后序是无法还原的。

6. 树的应用  

　　[1] 树是数据库中数据组织的一种重要形式

　　[2] 操作系统父子进程的关系本身就是一棵树

　　[3] 面向对象语言中类的继承关系本身就是一棵树

　　[4] 赫夫曼树

 

备注：学习过程中难免会出现很多错误，请大家指教！有问题可以直接评论我，谢谢！