数据结构与算法-图结构

Posted 2021-02-22 yfyyy

数据结构-图

一、基本介绍

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或者多个相邻元素。两个结点的连接称为边，结点也可以称为顶点

1.1 图的常用概念

• 顶点
• 边
• 路径
• 无向图
• 有向图
• 带权图

1.2 图的表示方式

• 邻接矩阵（二维数组）

  逻辑结构分为两部分：V和E集合，其中，V是顶点，E是边。因此，用一个一维数组存放图中所有顶点数据；用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵。

  

• 邻接表（链表）

  邻接表，存储方法跟树的孩子链表示法相类似，是一种顺序分配和链式分配相结合的存储结构。如这个表头结点所对应的顶点存在相邻顶点，则把相邻顶点依次存放于表头结点所指向的单向链表中。

  

二、深度优先遍历

2.1 图的遍历

所谓遍历，其实就是对结点的访问。一个图的结点有很多，如何全部访问到，需要制定策略，一般是深度优先遍历与广度优先遍历

2.2 基本思想

深度优先遍历（Depth First Search）

• 从初始访问结点出发，首先访问第一个邻接结点
• 然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问其第一个邻接结点
• 即每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点
• 深度优先遍历是一个递归的过程

2.3 算法步骤

• 访问初始结点v，并标记v为已经访问
• 查找结点v的第一个邻接结点w
• 若w存在，则继续，不存在则回到第一步，从v的下一个结点继续
• 若w未被访问，则对其进行深度优先遍历递归
• 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，重新上述过程

三、广度优先遍历

3.1 基本思想

广度优先遍历（Broad First Search）

• 类似于分层搜索的过程，广度优先遍历需求使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

3.2 算法步骤

• 访问初始结点v并标记结点v为已经访问
• 结点v入队列
• 队列为非空时，则继续执行，否则算法结束
• 出队列，取出队列头结点u
• 查找结点u的第一个邻接结点w
• 若结点u的邻接结点w不存在，则回到上述步骤，否则继续进行
  • 若结点w未被访问，则访问结点w并标记为已经访问
  • 结点w入队列
  • 查找结点u的继邻接结点w，转到上述步骤

四、代码实现

package cn.imut;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

public class Graph {

    private ArrayList<String> vertexList;       //存储顶点集合
    private int[][] edges;                      //存储图对应的邻接矩阵
    private int numOfEdges;                     //表示边的数目

    private boolean[] isVisited;                //记录某个结点是否被访问

    public static void main(String[] args) {
        //测试一把图是否创建ok
        int n = 8;  //结点的个数
        //String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
        String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};

        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        //循环的添加顶点
        for(String vertex: Vertexs) {
            graph.insertVertex(vertex);
        }

        //添加边
        //A-B A-C B-C B-D B-E
//		graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
//		graph.insertEdge(0, 2, 1); //
//		graph.insertEdge(1, 2, 1); //
//		graph.insertEdge(1, 3, 1); //
//		graph.insertEdge(1, 4, 1); //

        //更新边的关系
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);
        graph.insertEdge(3, 7, 1);
        graph.insertEdge(4, 7, 1);
        graph.insertEdge(2, 5, 1);
        graph.insertEdge(2, 6, 1);
        graph.insertEdge(5, 6, 1);



        //显示一把邻结矩阵
        graph.showGraph();

        //测试一把，我们的dfs遍历是否ok
        System.out.println("深度遍历");
        graph.dfs(); // A->B->C->D->E [1->2->4->8->5->3->6->7]
//		System.out.println();
        System.out.println("广度优先!");
        graph.bfs(); // A->B->C->D-E [1->2->3->4->5->6->7->8]
    }

    //构造器
    public Graph(int n) {
        //初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;
    }


    /**
     * 得到第一个邻接结点的下标w
     * @param index 结点
     * @return 若存在则返回下标，否则返回 -1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
            if(edges[index][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
     * @param v1
     * @param v2
     * @return 返回下标或者-1
     */
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
        for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
            if(edges[v1][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     *
     * @param isVisited
     * @param i 第一次是0
     */
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
        //首先我们访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //将结点设置为已经访问
        isVisited[i] = true;
        //查找结点i的第一个邻接结点w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while(w != -1) {//说明有
            if(!isVisited[w]) {
                dfs(isVisited, w);
            }
            //如果w结点已经被访问过
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }
    }

    //dfs重载，遍历所有的结点，进行dfs
    public void dfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
        for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if(!isVisited[i]) {
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    /**
     *
     * @param isVisited
     * @param i
     */
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u ; // 表示队列的头结点对应下标
        int w ; // 邻接结点w
        //队列，记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问结点，输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);

        while( !queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头结点下标
            u = (Integer)queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接结点的下标 w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while(w != -1) {//找到
                //是否访问过
                if(!isVisited[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
                w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
            }
        }
    }

    //遍历所有结点
    public void bfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for (int i1 = 0; i1 < getNumOfVertex(); i1++) {
            if(!isVisited[i1]) {
                bfs(isVisited, i1);
            }
        }
    }

    //返回结点个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

    //显示图对应的矩阵
    public void showGraph() {
        for (int[] ints : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(ints));
        }
    }

    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    //返回结点i（下标）对应的数据
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回v1，v2的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }


    /**
     * 添加边
     * @param v1 表示点的下标：第几个顶点
     * @param v2 第二个结点对应的下标
     * @param weight 表示
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }
}

五、总结

深度优先算法遍历顺序：1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 5 -> 3 -> 6 -> 7

广度优先算法遍历顺序：1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 8