博弈--尼姆博弈

Posted 2021-02-20 blogxsc

   今天我们来聊一聊另一种博弈--尼姆博弈，这一种博弈可以说是巴什博弈的一种变体，巴什博弈中“石子”的堆数为1堆，而在利姆博弈中“石子”的堆数为n堆，还有在尼姆博弈中取石子的规则也发生了变化，前一种博弈中取石子的数量限定在[1,L]，而后一种取石子的数量可以为任意数（但不能不取，而且还不能超过这一堆石子的总数），同样也是两人轮流来取，先取完者获胜。

下面我们进行一下分析：

　　(1) 先假设只有两堆石子，当两者数量相同的时候，先手必败(先手从一堆中取a个石子，后手模仿先手从另一堆也取a个，最后一定是先手败)；当两者数量不相等时，先手可以通过取石子将两堆石子变为的数量变为一样，这样，后手就面临必败态了。

　　综合来看的话：当谁面临“两堆石子的数量相等”这一状态时，谁就必败。

　　(2) 现在我们将情况推广到普通状态，我们先假设存在两堆石子a=7,b=5。这是两堆数量不同的石子堆，通过二进制拆分可以将他们化为：111 101,也就是（4+2+1）(4+1),我们现在可以将其视为5堆石子，其中有两堆数量为4，两堆数量为1的石子，也就是说，谁面临这种情况，谁就必败。而最后一堆谁将它一次性全部拿走，谁就是赢家。而通过二进制拆分可以将两堆数量分别为4、1的石堆归零不计。而通过异或这一操作正好可以达到这一要求。

　　由上得到结论：对每一堆石子的数量进行异或，最终的值为0时(尼姆和)，先手必败，反之，先手必胜。

典型例题：

Matches Game

题意：n堆石子，两个人轮流取，先取完者获胜。

题解：尼姆博弈的模板，直接套用。

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int main() {
    ll n,t;
    while(cin>>n) {
        ll sum=0;
        cin>>sum;
        for(int i=1; i<n; i++) {
            cin>>t;
            sum=sum^t;
        }
        if(sum==0) cout<<"No"<<endl;
        else cout<<"Yes"<<endl;
    }
    return 0;
}

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