L^2 [?π,π] 中三角函数系的完全性

Posted 2021-02-19 sunfenglong

《西江月·证明》（佚名）：即得易见平凡，仿照上例显然。留作习题答案略，读者自证不难。反之亦然同理，推论自然成立，略去过程QED，由上可知证毕。

程其襄、张奠宙等《实变函数与泛函分析基础（第三版）》第九章第3节，第255页

设(e_0(t)equiv frac{1}{sqrt{2}}), (e_1(t)=cos t), (e_2(t)=sin t), (e_3(t)=cos 2t), (e_4(t)=sin 2t), (cdots), (e_{2n-1}(t)=cos nt), (e_{2n}(t)=sin nt), (cdots). 令(M={e_i}_{i=0}^infty), 我们已经知道, (M)是Hilbert空间

[L^2[-pi,pi],quad langle f, g angle = frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi} f(t)overline{g(t)} { m d} t, f,gin L^2[-pi,pi] ]

中的规范正交系.

我们按以下步骤证明, 三角函数系(M)是(L^2[a,b])中的完全规范正交系.

• Step1. 证明

Weierstrauss三角逼近定理: 设(fin C[-pi,pi]), 并且(f(-pi)=f(pi)), 则对任意(varepsilon>0), 存在三角多项式

[T(t)=a_0+sum_{k=1}^m left(a_k cos kt+b_k sin kt ight), quad tin [-pi,pi], ]

使得

[max_{tin [-pi,pi]} left|f(t)-T(x) ight|<varepsilon. ]

Proof. (Fejér核方法)
由于(fin C[-pi,pi]), 则(fin L^2[-pi,pi]). 对任意(e_kin M), (f)关于(e_k)的Fourior系数为

[a_k=langle f,e_k angle = egin{cases} frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi} frac{1}{sqrt{2}} f(t) { m d} t, &k=0,frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi} f(t) cos nt { m d} t, &k=2n-1,frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi} f(t) sin nt { m d} t, &k=2n. end{cases} ]

记(f)的Fourior级数的前(n)项部分和为

[S_n=sum_{k=0}^n langle f,e_k angle e_k =sum_{k=0}^n a_k e_k, ]

则(S_nin C[-pi,pi]subset L^2[-pi,pi]), 并且(S_n(-pi)=S_n(pi)). 将Fourior系数代入, 得

[egin{equation*}egin{split} S_n(t)&=&frac{a_0}{sqrt{2}}+sum_{k=1}^nleft(a_{2k-1}cos nt +a_{2k}sin nt ight)&=&frac{1}{2 pi} int_{-pi}^{pi} f(s){ m d} s &&+frac{1}{pi} sum_{k=1}^n left[left( int_{-pi}^pi f(s)cos k s{ m d} s ight)cos kt + left( int_{-pi}^pi f(s)sin k s{ m d} s ight)sin kt ight]&=&frac{1}{pi} int_{-pi}^pi f(s) left[frac{1}{2} +sum_{k=1}^n left( cos ks cos kt+ sin kssin kt ight) ight] { m d} s&=&frac{1}{pi} int_{-pi}^pi f(s) left[ frac{1}{2} +sum_{k=1}^n cos k(s-t) ight] { m d} s. end{split}end{equation*} ]

将(S_n(t))和(f(t))延拓成(Bbb{R})上的以(2pi)为周期的连续函数, 并令( au=s-t), 则

[S_n(t)=frac{1}{pi} int_{-pi -t}^{pi -t} f(t+ au) left[frac{1}{2} +sum_{k=1}^n cos k au ight] { m d} au. ]

注意到上式右端积分中的被积函数也是以(2pi)为周期的连续函数, 因此在([-pi-t,pi-t])上的积分等于([-pi,pi])上的积分, 从而

[S_n(t)=frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi} f(t+ au) left[frac{1}{2} +sum_{k=1}^n cos k au ight] { m d} au,quad tin [-pi,pi]. ]

注意到(积化和差)

[cos kx sin frac{x}{2} =frac{1}{2}left[sin left( k+frac{1}{2} ight) x -sin left(k-frac{1}{2} ight)x ight], ]

则

[left( frac{1}{2}+sum_{k=1}^n cos kx ight)sin frac{x}{2}=frac{1}{2} sin left(n+frac{1}{2} ight) x, ]

于是

[S_n(t)=frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi} f(t+ au) frac{ sin left(n+frac{1}{2} ight) au}{2sin frac{ au}{2}} { m d} au,quad tin [-pi,pi]. ]

令(称为Cesàro和)

[egin{equation*}egin{split} sigma_n(t) &=& frac{S_0(t)+S_1(t)+cdots +S_{n-1}(t)}{n}&=&frac{1}{2npi} int_{-pi}^{pi} left[sum_{k=0}^{n-1} frac{ sin left(k+frac{1}{2} ight) au}{sin frac{ au}{2}} ight] f(t+ au){ m d} au. end{split}end{equation*} ]

显然, (sigma_n)也是一个三角多项式. 注意到(积化和差)

[sin left(k+frac{1}{2} ight) x cdot sin frac{x}{2} =frac{1}{2}left[cos k x -cos (k+1)x ight], ]

则

[sum_{k=0}^{n-1} sin left(k+frac{1}{2} ight) x=frac{1-cos nx}{2sin frac{x}{2}}=frac{sin^2 frac{nx}{2}}{sin frac{x}{2}}. ]

令(称为Fejér核)

[Phi_n(x) =frac{1}{2npi} left[ frac{sin^2 frac{nx}{2}}{sin^2 frac{x}{2}} ight], ]

于是

[sigma_n(t)=int_{-pi}^{pi} Phi_n( au)f(t+ au){ m d} au. ]

下证Fejér核(Phi_n(t))满足以下3条性质:
(i) (Phi_n(x)geq 0);
(ii) (int_{-pi}^{pi} Phi_n(x) { m d} x=1).
(iii) 对任意固定的(deltain (0,pi)), 记

[eta_n(delta)=int_{-pi}^{-delta} Phi_n(x){ m d} x=int_{delta}^{pi} Phi_n(x) { m d} x, ]

则(limlimits_{n o infty} eta_n(delta)=0.)

性质(i)显然成立.

注意到Fejér核(Phi_n(t))和函数(f)无关. 当(f(t)equiv 1)时, (f)关于(e_kin M)的Fourior系数为

[a_0=sqrt{2};quad a_k=0, forall kin Bbb{N}_+. ]

所以

[S_n(t)equiv S_0(t)=1,quad forall nin Bbb{N}_+, ]

从而

[int_{-pi}^{pi} Phi_n(t) { m d} t=sigma_n(t)= frac{S_0(t)+S_1(t)+cdots +S_{n-1}(t)}{n}=frac{n}{n}=1. ]

性质(ii)得证.

当(0<deltaleq xleq pi)时, (sin frac{x}{2}geq sin {frac{delta}{2}}>0), 从而

[Phi_n(x)=frac{1}{2npi} left[ frac{sin^2 frac{nx}{2}}{sin^2 frac{x}{2}} ight]leq frac{1}{2npi} frac{1}{sin^2 frac{delta}{2}}, ]

[0leq eta_n(delta) leq frac{pi-delta}{2pi sin^2 frac{delta}{2}}cdot frac{1}{n}, ]

所以(limlimits_{n o infty} eta_n(delta)=0.) 性质(iii)得证.

现在(f)已经延拓成了(Bbb{R})上的(2pi)周期函数, 则(f)在(Bbb{R})上有界并且一致连续, 即存在(M>0)使得

[|f(x)|leq M,quad forall xin Bbb{R}; ]

对任意(varepsilon>0), 存在(delta>0), 使得

[forall x‘,x‘‘in Bbb{R} : |x‘-x‘‘|<delta, ]

都有

[|f(x‘)-f(x‘‘)|<varepsilon. ]

利用上述(delta>0)以及Fejér核(Phi_n(t))的性质(ii), 我们有

[egin{equation*}egin{split} f(t)-sigma_n(t)&=&left( int_{-pi}^{pi}Phi_n( au) { m d} au ight) f(t)- int_{-pi}^{pi}Phi_n( au) { m d} au f(t+ au){ m d} au&=&int_{-pi}^{pi}Phi_n( au) left[ f(t)-f(t+ au) ight] { m d} au&=:&J_-+J_0+J_+, end{split}end{equation*} ]

其中

[egin{equation*}egin{split} J_-&=& int_{-pi}^{-delta} Phi_n( au) left[ f(t)-f(t+ au) ight] { m d} au,J_0&=& int_{-delta}^{delta} Phi_n( au) left[ f(t)-f(t+ au) ight] { m d} au,J_+&=& int_{delta}^{pi} Phi_n( au) left[ f(t)-f(t+ au) ight] { m d} au, end{split}end{equation*} ]

利用Fejér核(Phi_n(t))的性质(iii)以及函数(f)的有界性和一致连续性, 就有

[|J_-|leq 2Meta_n(delta),quad |J_+|leq 2Meta_n(delta),quad |J_0|leq frac{varepsilon}{2} int_{-delta}^{delta} Phi_n( au){ m d} au <frac{varepsilon}{2}. ]

由于(limlimits_{n o infty} eta_n(delta)=0), 则存在正整数(N), 使得对任意(n>N), 都有

[2Meta_n(delta)<frac{1}{4}varepsilon, ]

从而

[|f(t)-sigma_n(t)|<varepsilon,quad forall tin Bbb{R}, quadforall n>N. ]

令(T(t)=sigma_n(t)), (n>N), 则(T)是([-pi,pi])上的三角多项式并且

[max_{tin [-pi,pi]} |f(t)-T(t)|<varepsilon. ]

• Step2. 设(T)是([-pi,pi])上的一个三角多项式, 则(Tin C[-pi,pi]), 同时也有(Tin L^2[-pi,pi]). 证明: (T)关于三角函数系(M)满足Parseval等式, 即

[|T|^2=sum_{ein M}|langle T,e angle |^2. ]

Proof. 设(T)是([-pi,pi])上的三角多项式,

[T(t)=a_0+sum_{k=1}^m left(a_k cos kt+b_k sin kt ight)=sum_{i=0}^{2m} c_i e_i(t),quad tin [-pi,pi], ]

其中

[c_i= egin{cases} a_0,& i=0,a_k,& i=2k-1_k,& i=2k. end{cases} ]

由于(M={e_i}_{i=0}^infty)是(L^2[-pi,pi])中的规范正交系, 则

[|T|^2=sum_{i=0}^{2m}|c_i e_i|^2=sum_{i=0}^{2m}|c_i|^2. ]

另一方面, 对任意(lin Bbb{N}), 由(L^2[-pi,pi])中内积的定义, 就有

[egin{equation*}egin{split} &&langle T,e_l angle&=&frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi} left[sum_{i=0}^{2m} c_i e_i(t) ight]overline{e_l(t)} { m d} t&=&sum_{i=0}^{2m} c_ileft[frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi} e_i(t)overline{e_l(t)} ight]{ m d} t&=&sum_{i=0}^{2m} c_ilangle e_i, e_l angle end{split}end{equation*} ]

由于(M={e_i}_{i=0}^infty)是(L^2[-pi,pi])中的规范正交系, 则

[egin{cases} langle T,e_l angle=c_l,& lleq 2m,langle T,e_l angle=0,&l>2m. end{cases} ]

综上,

[sum_{ein M}|langle T,e angle|^2=sum_{i=0}^infty |langle T,e_i angle|^2=sum_{i=0}^{2m} |c_i|^2 =|T|^2. ]

• Step3. 利用Steklov定理证明(M)是(L^2[a,b])中的完全规范正交系.

Steklov定理: 设(M)是Hilbert空间(X)中规范正交系. 若Parseval等式在(X)的某个稠密子集(A)上成立, 即对任意(xin A), 都有

[x=sum_{ein M} langle x,e angle e, ]

则(M)是完全规范正交系.

Proof. 将([-pi,pi])上的三角多项式全体集合记为({ m Tri}[-pi,pi]), 将([-pi,pi])上满足(f(-pi)=f(pi))的连续函数全体集合记为(C(Bbb{T})), 显然({ m Tri}[-pi,pi]subset C(Bbb{T})subset L^2[-pi,pi]), 并且({ m Tri}[-pi,pi])和(C(Bbb{T}))在(L^2)-范数

[|f|=left[ frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi} |f(t)|^2 { m d} t ight]^{frac{1}{2}} ]

下都是(L^2[-pi,pi])的赋范线性子空间. 由Step1, 对任意(fin C(Bbb{T}))以及任意(varepsilon>0), 存在(Tin { m Tri}[-pi,pi])使得

[max_{tin [-pi,pi]} |f(t)-T(t)|<sqrt{pi}varepsilon, ]

从而

[egin{equation*}egin{split} |f-T|&=&left[frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi} left| f(t)-T(t) ight|^2 { m d} t ight]^frac{1}{2}&leq &left[frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi} max_{tin [-pi,pi]}left| f(t)-T(t) ight|^2 { m d} t ight]^frac{1}{2}&<&varepsilon, end{split}end{equation*} ]

所以({ m Tri}[-pi,pi])按照(L^2)-范数在(C(Bbb{T}))中稠密.

下证(C(Bbb{T}))按(L^2)-范数在(C[-pi,pi])中稠密.

对任意(fin C[-pi,pi]), 以及任意(nin Bbb{N}_+), 令

[phi_n(t)= egin{cases} f(t),&tin left[-pi,pi -frac{2pi}{n} ight]k_n(t-pi)+f(-pi),& tin left( pi -frac{2pi}{n},pi ight], end{cases} ]

其中

[k_n=frac{f(-pi)-fleft(pi -frac{2pi}{n} ight)}{pi-left(pi-frac{2pi}{n} ight)}, ]

显然, (phi_nin C(Bbb{T})).
令(C=maxlimits_{tin [-pi,pi]}|f(t)|), 则(maxlimits_{tin [-pi,pi]}|phi_n(t)|leq C), 从而

[egin{equation*}egin{split} &&|f-phi_n|^2 &=&frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi} |f(t)-phi_n(t)|^2 { m d} t&=&frac{1}{pi}int_{pi -frac{2pi}{n}}^{pi} left |f(t)-phi_n(t) ight|^2 { m d} t&leq &frac{1}{pi}int_{pi -frac{2pi}{n}}^{pi} 4C^2 { m d} t&=&frac{C^2}{pi} cdot frac{2pi}{n} =frac{2C^2}{n} o 0quad (n o infty). end{split}end{equation*} ]

所以(C(Bbb{T}))按(L^2)-范数在(C[-pi,pi])中稠密.

将([-pi,pi])上的有界可测函数全体集合记为(M_b[-pi,pi]), 显然在(L^2)范数下(M_b[-pi,pi])也是(L^2[-pi,pi])的赋范线性子空间. 下证(C[-pi,pi])按(L^2)-范数在(M_b[-pi,pi])中稠密.

任取(fin M_b[-pi,pi]), 设

[|f(x)|leq K,quad a.e. xin [-pi,pi]. ]

对任意(varepsilon>0), 由Lusin定理, 存在([-pi,pi])上的连续函数(g)以及闭集(Fsubset [-pi,pi])使得
(i) (f(t)=g(t)), (forall tin F);
(ii) (mleft([-pi,pi]setminus F ight)<frac{varepsilon^2}{4K^2});
(iii) (maxlimits_{tin [-pi,pi]} |g(t)|leq K).
于是,

[egin{equation*}egin{split} &&|f-g|^2&=&int_{-pi}^{pi} |f(t)-g(t)|^2{ m d} t&=&int_{[-pi,pi]setminus F} |f(t)-g(t)|^2{ m d} t&leq & 4K^2 mleft([-pi,pi]setminus F ight)&<&varepsilon^2, end{split}end{equation*} ]

即(|f-g|<varepsilon). 所以(C[-pi,pi])按(L^2)-范数在(M_b[-pi,pi])中稠密.

下证(M_b[-pi,pi])按(L^2)-范数在(L^2[-pi,pi])中稠密.

任取(fin L^2[-pi,pi]), 对任意(nin Bbb{N}_+), 令

[ f_n(t)= egin{cases} f(t),& |f(t)|leq n,,&|f(t)|>n, end{cases} ]

则(f_nin M_b[-pi,pi]), 并且

[|f_n-f|^2=int_{-pi}^{pi} |f_n(x)-f(x)|^2{ m d} t=int_{{ tin [-pi,pi] | |f(t)|>n} } |f(t)|^2 { m d} t, ]

从而

[|f|^2 geq int_{{ tin [-pi,pi] | |f(t)|>n} } |f(t)|^2 { m d} tgeq n^2 m { tin [-pi,pi] | |f(t)|>n}, ]

即

[m { tin [-pi,pi] | |f(t)|>n} leq frac{1}{n^2}|f|^2,quad forall nin Bbb{N}_+. ag{1} ]

由于(|f|^2in L^1[-pi,pi]), 由Lebesgue积分的绝对连续性, 对任意(varepsilon>0), 存在(delta>0), 使得对于任意的可测集(Asubset [-pi,pi])且(m(A)<delta), 都有

[int_A |f(t)|^2 { m d} t<varepsilon^2. ]

另一方面, 根据(1)式, 对上述(delta>0), 存在正整数(N), 使得对任意(n>N), 都有

[m { tin [-pi,pi] | |f(t)|>n}<delta, ]

从而

[|f_n-2|^2=int_{{ tin [-pi,pi] | |f(t)|>n} } |f(t)|^2 { m d} t<varepsilon^2, ]

即

[|f_n-f|< varepsilon, quad forall n>N. ]

所以(M_b[-pi,pi])按(L^2)-范数在(L^2[-pi,pi])中稠密.

综上, 按照稠密性的传递关系, ({ m Tri}[-pi,pi])按照(L^2)-范数在(L^2[-pi,pi])中稠密.

由Step2可知, 对任意(fin { m Tri}[-pi,pi]), (f)关于规范正交系(M)成立Parseval等式. 根据Steklov定理, (M)是(L^2[pi,pi])中的完全规范正交系.