HDU-6568 Math 概率期望
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了HDU-6568 Math 概率期望相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题目链接:HDU-6568 Math
题意
Avin要带着机器人在数轴上从 0 走到 L,他走路按照以下规则:对于每个整数位置
- 如果Avin还带着机器人,则有 p 的概率弄丢机器人;
- 如果Avin在 i 位置弄丢机器人,则在 [i, L) 每个整数位置有 q 的概率发现,当到达终点 L 却没有机器人,则一定能够发现;
- 如果Avin发现弄丢机器人,则会往回走直到遇见机器人,否则他会继续前进。
问Avin从 0 走到 L 的路程期望是多少?
思路
设 (f(i)) 表示从 (i) 位置带着机器人,走到 (i+1) 位置也带着机器人的路程期望。下面用 (E) 来表示各个情况的路程期望。
- 在 (i) 位置没有弄丢机器人,(E_1 = 1) ;
- 在 (i) 位置弄丢了机器人,并且直到 (L) 才发现,概率为 ((1-q)^{L-i}),回到 (i) 位置的路程为 (2(L-i)),所以期望 (E_2=2(L-i)(1-q)^{L-i}) ;
- 在 (i) 位置弄丢了机器人,但在 ([i, L-1]) 就发现,则在 (i+x) 位置发现的概率为 (q(1-q)^x),回到 (i) 位置的路程为 (2x),枚举 (x),则这部分的期望 (E_3=sum_{x=0}^{L-i-1}2xq(1-q)^x);
那么 (f(i)=(1-p)E_1+p(E_2+E_3)) ?可以发现 (E_1) 算的是走到 (i+1) 的路程期望,而 (E_2、E_3) 算的是回到 (i) 位置的路程期望,所以应该再加上从 (i) 走到 (i+1) 的路程期望,即 (f(i) = (1-p)E_1 + p(E_2+E_3+f(i))) ,移项得 (f(i)=E_1+frac{p}{1-p}(E_2+E_3)) ,对 (E_3) 预处理即可 (O(1)) 计算 (f(i)),最终答案为 (sum_{i=0}^{L-1}f(i)) 。
代码实现
很坑的一点是,题目没说要处理多组输入,但实际上没写多组输入会WA。
#include <cstdio>
double E3[100010], pow1_q[100010];
int main() {
int L;
double p, q;
while (~scanf("%d %lf %lf", &L, &p, &q)) {
pow1_q[0] = 1;
E3[0] = 0;
for (int x = 1; x <= L; x++) {
pow1_q[x] = pow1_q[x-1] * (1 - q);
E3[x] = E3[x-1] + 2 * x * q * pow1_q[x];
}
double ans = 0, E2;
for (int i = 0; i < L; i++) {
E2 = 2 * (L - i) * pow1_q[L-i];
ans += 1 + p / (1 - p) * (E2 + E3[L-i-1]);
}
printf("%.7f
", ans);
}
return 0;
}
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