网络流二十四题之魔术球问题

Posted 2021-02-17 echozqn

P2765 魔术球问题

题目描述

«问题描述：

假设有n根柱子，现要按下述规则在这n根柱子中依次放入编号为1，2，3，...的球。

（1）每次只能在某根柱子的最上面放球。

（2）在同一根柱子中，任何2个相邻球的编号之和为完全平方数。

试设计一个算法，计算出在n根柱子上最多能放多少个球。例如，在4 根柱子上最多可放11 个球。

«编程任务：

对于给定的n，计算在n根柱子上最多能放多少个球。

输入输出格式

输入格式：

 

第1 行有1个正整数n，表示柱子数。

 

输出格式：

 

程序运行结束时，将n 根柱子上最多能放的球数以及相应的放置方案输出。文件的第一行是球数。接下来的n行，每行是一根柱子上的球的编号。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4

输出样例#1： 复制

11
1 8
2 7 9
3 6 10
4 5 11

说明

感谢 @PhoenixEclipse 提供spj

4<=n<=55

 

 

魔术球问题
这个题目是一个网络流问题，虽然看起来一点也不像

给定柱子数n(最小路径覆盖数）以及放球条件（建图条件），求最多有多少个球（最多有多少个点可以满足这个最小的路径覆盖数

思路：
二分图匹配。
本质上和那个最小覆盖路径差不多。
就是把每一个球拆成两个部分，一个入点一个出点。
然后每次新加一个球先让他连接源点和汇点，然后判断他可不可以与另一个点连接，可以就不需要新占用一根柱子，不可以就占用一根柱子。
这个点如何拆呢，题解用的i>>1,i>>1|1，我觉这样子拆分很好，不过比较难想。

 

 

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <vector>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int  maxn = 1e5 + 10;
int s = 1e5 + 1, t = 1e5 + 2,n;
struct node
{
    int from, to, cap, flow;
    node(int from=0,int to=0,int cap=0,int flow=0):from(from),to(to),cap(cap),flow(flow){}
};
vector<node>e;
vector<int>G[maxn];
int level[maxn], iter[maxn], head[maxn];
void add(int u,int v,int c)
{
    e.push_back(node(u, v, c, 0));
    e.push_back(node(v, u, 0, 0));
    int len = e.size();
    G[u].push_back(len - 2);
    G[v].push_back(len - 1);
}

void bfs(int s)
{
    memset(level, -1, sizeof(level));
    queue<int>que;
    que.push(s);
    level[s] = 0;
    while(!que.empty())
    {
        int u = que.front(); que.pop();
        for(int i=0;i<G[u].size();i++)
        {
            node &now = e[G[u][i]];
            if(level[now.to]<0&&now.cap>now.flow)
            {
                level[now.to] = level[u] + 1;
                que.push(now.to);
            }
        }
    }
}
int to[maxn];

int dfs(int u,int v,int f)
{
    if (u == v) return f;
    for(int &i=iter[u];i<G[u].size();i++)
    {
        node &now = e[G[u][i]];
        if(now.cap>now.flow&&level[now.to]>level[u])
        {
            int d = dfs(now.to, v, min(f, now.cap - now.flow));
            if(d>0)
            {
                //printf("%d %d %d
", d, now.to>>1, u>>1);
                if (u == s) to[0] = now.to >> 1;
                if (now.to == t) to[u >> 1] = -1;
                else to[u >> 1] = now.to >> 1;
                now.flow += d;
                e[G[u][i] ^ 1].flow -= d;
                return d;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int max_flow()
{
    int flow = 0;
    while(1)
    {
        bfs(s);
        if (level[t] < 0) return flow;
        memset(iter, 0, sizeof(iter));
        int f;
        while ((f = dfs(s, t, inf)) > 0) flow += f;
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    int num = 0, cnt = 0;
    memset(to, -1, sizeof(to));
    while(num<=n)
    {
        cnt++;
        add(s, cnt << 1, 1);
        add(cnt << 1 | 1, t, 1);
        for(int i=sqrt(cnt)+1;i*i<(cnt<<1);i++)//这个是去查找有没有可以和第cnt这个球连起来的球
            //前面的i的初始化是因为这个可能被连的数一定会>0的
            //后面的限制是 i*i-now<now  所以i*i<2*cnt=cnt<<1,意思就是这个数一定在cnt之前
        {
            add((i*i - cnt) << 1, cnt << 1 | 1, 1);
        }
        int ans = max_flow();
        if(!ans)
        {
            head[++num] = cnt;
        }
    }
    printf("%d
", cnt - 1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int now = head[i];
        printf("%d ", now);
        while(to[now]!=-1)
        {
            now = to[now];
            printf("%d ", now);
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}