CF917DStranger Trees

Posted 2021-02-16 asuldb

题目

看题解的时候才突然发现(zky)讲过这道题啊，我现在怕不是一个老年人了

众所周知矩阵树求得是这个

[sum_{T}prod_{ein T}w_e]

而我们现在的这个问题有些鬼畜了，给定一棵树，求和这棵树有(k)条公共边的生成树个数

我们如何区分出和原生成树有几条边呢，容斥显然不是很可做，于是之后就不会啦

看了题解发现这是神仙题，引用潮子名言我可能这辈子是做不出来了

对于不在给定生成树里的边(w_e)我们设(w_e=1)，对于在生成树里的边我们将其设成(w_e=x)，没错就是(x)，就是一个多项式

这样矩阵树得到的结果必然也是一个多项式，其中(k)次项系数就对应了和原树有(k)条公共边的方案数

如果模数是(NTT)模数那么我们直接矩阵树套多项式就好啦，但是(O(n^4logn))的复杂度显然不科学啊

考虑一些其他求多项式系数的方法，暴力一点也行

于是我们可以高斯消元

这个多项式是一个(n-1)的多项式，于是我们可以直接给(x)找(n)种取值，之后得到(n)个方程，之后高斯消元就可以求出系数来了

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
const int maxn=105;
const int mod=1e9+7;
inline int read() {
    char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
int n,x[maxn],y[maxn],ans[maxn];
int a[maxn][maxn],b[maxn][maxn];
inline int ksm(int a,int b) {
    int S=1;
    while(b) {if(b&1) S=(1ll*S*a)%mod;b>>=1;a=(1ll*a*a)%mod;}
    return S;
}
inline void reBuild() {
    for(re int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=n-1;
    for(re int i=1;i<=n;i++)
        for(re int j=1;j<=n;j++) {
            if(i==j) continue;
            a[i][j]=mod-1;
        }
}
inline int solve(int t) {
    reBuild();
    for(re int i=1;i<n;i++) {
        int u=x[i],v=y[i];
        a[u][u]--,a[v][v]--;
        a[u][u]+=t,a[v][v]+=t;
        a[u][v]=a[v][u]=mod-t;
    }
    int o=0;
    for(re int i=1;i<n;i++) {
        int p;
        for(p=i;p<n;++p) if(a[p][i]) break;
        if(p!=i) std::swap(a[p],a[i]),o^=1;
        int Inv=ksm(a[i][i],mod-2);
        for(re int j=i+1;j<n;j++) {
            int mul=(1ll*a[j][i]*Inv)%mod;
            for(re int k=i;k<n;k++)
                a[j][k]=(a[j][k]-1ll*a[i][k]*mul%mod+mod)%mod;
        }
    }
    int now=1;
    for(re int i=1;i<n;i++) now=(1ll*now*a[i][i])%mod;
    return o?(mod-now)%mod:now;
}
int main() {
    n=read();
    for(re int i=1;i<n;i++) x[i]=read(),y[i]=read();
    for(re int i=0;i<n;i++) {
        b[i][n]=solve(i+1);
        b[i][0]=1;
        for(re int j=1;j<n;j++) b[i][j]=ksm(i+1,j);
    }
    for(re int i=0;i<n;i++) {
        int p;
        for(p=i;p<n;++p) if(b[p][i]) break;
        if(p!=i) std::swap(b[p],b[i]);
        int Inv=ksm(b[i][i],mod-2);
        for(re int j=n;j>=i;--j) b[i][j]=(1ll*b[i][j]*Inv)%mod;
        for(re int j=i+1;j<n;j++)
            for(re int k=n;k>=i;--k)
                b[j][k]=(b[j][k]-1ll*b[j][i]*b[i][k]%mod+mod)%mod;
    }
    ans[n-1]=b[n-1][n];
    for(re int i=n-2;i>=0;--i) {
        ans[i]=b[i][n];
        for(re int j=n-1;j>i;--j)
            ans[i]=(ans[i]-1ll*ans[j]*b[i][j]%mod+mod)%mod;
    }
    for(re int i=0;i<n;i++) printf("%d ",ans[i]);
    return 0;
}