离散数学-谓词逻辑

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了离散数学-谓词逻辑相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、谓词与谓词公式

谓词:表示个体词性质或相互之间关系的词

量词:用来表示个体数量的词是

谓词的量化:给谓词加上量词 

一元目谓词P(x)、n元目谓词P(x, y, z, ...)它们是命题形式而非命题

因为既没有指定谓词符号P的含义,而且个体词x、y也是个体变项而不代表某个具体的事物,从而无法确定P(x)、P(x, y)的真值。 

仅当赋予谓词确定含义,并且个体词取定为个体常项而非个体变项时,命题形式才化为命题。

设A为一个谓词公式,若A在任何解释下真值均为真,则称A为普遍有效的公式/逻辑有效式。例如(x) (P(x)∨┐P(x)) 

若A在任何解释下真值均为假,则称A为不可满足的公式/矛盾式,例如(x)P(x)∧(y) ┐P(y) 

若至少存在一个解释使A为真,则称A为可满足的公式 

Church-Turing定理:对任一谓词公式而言,没有一个可行的方法判明它是否是普遍有效的。即谓词逻辑是不可判定的

但是谓词公式的某些子类是可判定的 

命题公式 p→q 的代换实例:如P(y)→Q(z)、(∀x)P(x)→(∃x)Q(x)般用谓词公式处处代替各个命题变项

命题公式中,重言式的代换实例都是逻辑有效式、矛盾式的代换实例都是矛盾式。 

自然语言形式化

存在唯一的偶素数:x(Prime(x)Even(x))∧(y)(Prime(y)Even(y)→Equal(x, y))

G(x)表示x是金子、L(x)表示x会闪光(x)(G(x)→L(x))(x)(L(x)∧┐G(x))

F(x)表示x是乌鸦、G(x, y)表示x与y一般黑

(x)(y)(F(x)F(y)→G(x , y))

?(x)(y)((F(x)F(y))G(x , y))

?(x)(y)((F(x)F(y))∧┐G(x , y))

?(x)(y)((F(x)F(y))∧┐G(x , y))

?(x)(y)((F(x)F(y))∧┐G(x , y))

x Even(x) ∧ x Odd(x) (Even(x)∧Odd(x))不等价,前者表示存在一个正奇数也存在一个正偶数,后者表示存在一个数既是正奇数又是正偶数

x Even(x) ∨ x Odd(x) (Even(x)∨Odd(x))不等价,前者表示所有数都是正偶数,或者所有数都是正奇数

    后者表示所有数都是正奇数或正偶数

??xyGreater(y, x) yxGreater(y, x),前者表示对于任一个正整数而言,都存在比它大的正整数 

       后者表示存在一个正整数,大于任何正整数 

谓词逻辑的等值演算

设论域 D={a1, a2, …, am} 是有限集合,则有(∀x)A(x)?A(a1)∧A(a2)∧…∧A(am) 、(∃x)A(x)?A(a1)∨A(a2)∨…∨A(am

量词否定等值式/德摩根律:┐(x)A(x)?(x)A(x)、┐(x)A(x)?(x)A(x)

量词辖域收缩与扩张等值式:/x(A(x)/B)?∀/x(A(x))/B

量词分配等值式:∀x(A(x)∧B(x))?∀xA(x)∧∀xB(x)、∃x(A(x)∨B(x))? ∃xA(x)∨∃xB(x) 

 

例题

x(P(x)→Q(x))

?∃x(P(x)Q(x))

?∃xP(x)xQ(x)

?xP(x)xQ(x)

?∀xP(x)→xQ(x)

 

反驳

要证明x(P(x)→Q(x))为假的办法

x(P(x)→Q(x))

?∃x(P(x)∧┐Q(x))

就是要找到某个x,使得P(x)为真的同时Q(x)为假

、前束范式

所有量词都位于该公式的最左边:xP(x)xQ(x)不是

所有量词前都不含否定词:┐xP(x , y)不是

量词的辖域都延伸到整个公式的末端:x(P(x)→Q(x))R(z)不是

化前束范式的方法

((x)(y)P(a, x, y)→(x)(┐(y)Q(y, b)→R(x))) 

1)消去

?((x)(y)P(a, x, y)(x)(┐(y)Q(y, b)R(x))) 

2)┐右移

?(x)(y)P(a, x, y)┐(x)((y)Q(y, b)R(x)))

?(x)(y)P(a, x, y)(x)(┐(y)Q(y, b)┐R(x)))

?(x)(y)P(a, x, y)(x)((y)┐Q(y, b)┐R(x)))

3)量词左移

?(x)((y)P(a, x, y)((y)┐Q(y, b)┐R(x)))

?(x)(y)(z)(P(a, x, y)┐Q(z, b)┐R(x)))

?(x)(y)(z)M(a, b, x, y, z)

、谓词逻辑的推理

xF(x)yG(y)?∀xF(x)

xF(x)?∀xF(x)yG(y)

xA(x)xB(x)?∀x(A(x)B(x))

x(A(x)B(x))?∃xA(x)xB(x)

x(A(x)B(x))?∀xA(x)xB(x)以及xA(x)xB(x)

全称推广规则/全称量词引入规则(UG) 

P(y)?∀xP(x),其中y是论域中任意个体

意指如果任意个体yD都具有性质P,那么D中所有个体x都具有性质P。 

该规则使用的条件是: 无论P(y)中自由出现的个体变项y取何值,P(y)应该为真;取代自由出现的y的x不能在P(y)中约束出现

例如(x)G(x, y)对任意给定的y都成立,不能通过全称量词引入变为(x)(x)G(x, x) 

全称举例规则/全称量词消去规则(US) 

xP(x)?P(y),其中y是论域中一个体 

意指如果所有的xD都具有性质P,那么D中任一个体y必具有性质P

该规则使用的条件是:取代x的y应为任意的不在P(x)中约束出现的个体变项;用y取代P(x)中自由出现的x时,必须在x自由出现的一切地方进行取代

例如(x)(y)G(x, y)不能通过全称量词消去变为(y)G(y, y)  

存在推广规则/存在量词引入规则(EG) 

P(a)?(x)P(x)其中a是论域中一个体常项。

意指如果有个体常项a具有性质P,那么(∃x)P(x)必真。 

该规则使用的条件是: a是特定的个体常项 取代a的x不在P(a)中出现过 

存在举例规则/存在量词消去规则(ES) 

(∃x)P(x)?P(a),其中a是论域中的一个个体常项。

意指如果论域D中存在某个体具有性质P,那么必有特定个体a具有该性质P。

该规则使用的条件是:a是使P为真的特定的个体常项;a不在P(x)中出现;P(x)中没有其它自由出现的个体变项;a是在推导中未曾使用过的

?例如(y)G(x, y)不能通过存在量词消去变为G(x, a),因为哪个个体使其成立依赖于x,不是所有x都有同一个a使得G(x, a)成立

 

例题:

1)(x)Q(x) (前提引入)  

2)(x)~Q(x) (前提引入)  

3)Q(a) (对(1)的存在量词消去)  

4Q(a) (对(2)的存在量词消去)  

5)Q(a)∧Q(a) ((3)(4)合取)  

6)(x)(Q(x)∧Q(x)) (存在量词引入)  

错误之处:(4)中做的是存在量词消去,a必须是在推导中未曾使用过的

 

例题:

1)(x)(P(x)→Q(x)) (前提引入)  

2) (x)P(x) (前提引入)  

3)P(c)→Q(c) (对(1)的全称量词消去)  

4)P(c) (对(2)的存在量词消去)  

5)Q(c) ((3)(4)假言推理)  

6)(x)Q(x) (存在量词引入)  

错误之处:(4)中使P(c)成立的c不一定就是(3)中使P(c)→Q(c) 成立的c

 把(3)和(4)调换顺序即可,全称量词消去时c可以任意

 

例题:∃xP(x)→∀xQ(x),求证∀x(P(x)→Q(x))

证明:首先需要化为前束范式以及进行置换

?┐∃xP(x)∨∀xQ(x)

?∀x┐P(x)∨∀xQ(x)

?∀x┐P(x)∨∀yQ(y)

?∀xy(P(x)→Q(y))

全称量词消去得y(P(z)→Q(y)),其中z是论域中任意个体

全称量词消去得P(z)→Q(z),其中z是论域中任意个体

全称量词引入得∀x(P(x)→Q(x))

以上是关于离散数学-谓词逻辑的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

南航计算机科学与技术专业复试科目541离散数学和编译原理

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离散数学--第一讲

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