[离散数学] 数理逻辑基础

Posted 2021-09-29 GoldenaArcher

[离散数学] 数理逻辑基础

复习一下 数理逻辑(Logic) 的内容，内容包含：

• 命题定理
• 连接符
• 真值表
• 推理规则(RULES OF INFERENCE)
• 逻辑等价(LOGICAL EQUIVALENCE)
• 合取范式 (Conjunctive Normal Form)

命题(proposition)

又称 语句(statement)，或是 命题语句(propositional statement)，命题的组成可以是最简单的符号，如 A，或是由一句话 外面在下雨 组成。

命题必须具有 真假意义，具有 判断性 或 陈述性，一些带有歧义性的问题不适用于命题，如 你长的比树还高。

命题本身具有 真值(truth values)：

• 当一个命题为真时，其 真值 为 真(true)，如 A。
• 当一个命题为假时，其 真值 为 假(false)，如 ~A。

命题又能被分成两类：

• 简单命题

  无法继续被拆分的命题，又称为 原子 (atom) 命题，就是之前举的例子。

• 复合命题

  由简单命题复合而成的命题，需要使用 逻辑连接符(connective) 来构成。文字上的形容为：钥匙可以打开门 或 扫码可以打开门。

连接符

文字解释	连接符
非 A (not A)	~$A$, $\neg A$, $!A$
A 且 B (A and B)	$A\wedge B$, $A\cdot B$, $A\&B$
A 或 B (A or B)	$A\vee B$, $A+B$, $A\Vert \Vert B$
A 异或 B (A XOR B)	$A\oplus B$
若 A 则 B (if A then B)	$A\to B$, $A\Rightarrow B$
A 当且仅当 B (A if and only if B)	$A\leftrightarrow B$ , $A\iff B$

注*：列举多个连接符因为有些老师可能偏向于用其中的一个，如 非 连接符，~ 和 $\neg$ 代表的是一样的意思。

注 2*：$\cdot$ 可作为技术性符号取代括号，所以还是推荐使用 $\wedge$ 符号。

真值表

真值表 表示一个命题可以出现的所有 真值，下面是几个例子：

注*：可能出现的真值有 true(1) 和 false(0)

• $A$

  $A$
  0
  1

• $A\wedge \neg A$ 永远不可能出现 true：

  $A$	$\neg A$	$A\wedge \neg A$
  0	1	0
  1	0	0

• $A\wedge B$ 可能出现的所有情况

  $A$	$B$	$A\wedge B$
  0	0	0
  0	1	0
  1	0	0
  1	1	1

  从表中可以明确的看出来，只有当 $A$ 与 $B$ 同时为 1 的时候， $A\wedge B$ 的结果才为 1.

• $A\to B$

  $A$	$B$	$A\to B$
  0	0	1
  0	1	1
  1	0	0
  1	1	1

真值表适用于小型问题，因为它的复杂度是 $2^n$，当命题较多的情况下很难穷举所有的情况。

推理规则(RULES OF INFERENCE)

这些都是 法则(law) 类的

• 取拒式 (Modus Ponens)

  $p$

  $p\to q$

  $q$ (得出)

• 否定式 (Modus Tollens)

  $\neg q$

  $p\to q$

  $\neg p$ (得出)

• 假言三段论 (Hypothetical Syllogism)

  $p\to q$

  $q\to r$

  $p\to r$ (得出)

• 添加 (Addition)

  $p$

  $p\vee q$ (得出)

• 消减 (Resolution)

  $p\vee q$

  $\neg q\vee r$

  $q\vee r$ (得出)

• 析取三段论 (Disjunctive Syllogism)

  $p\vee q$

  $\neg p$

  $q$ (得出)

• 简化 (Simplification)

  $p\vee q$

  $q$ (得出)

• 合取 (Conjuction)

  $p$

  $q$

  $p\vee q$ (得出)

逻辑等价(LOGICAL EQUIVALENCE)

• 幂等律 (Idempotent Law)

  $p\vee q\equiv p$

  $p\wedge q\equiv p$

• 德摩根律 (DeMorgan’s Laws)

  $\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$

  $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$

• 分配律 (Distributive Laws)

  $p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$

  $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$

• 双重否定律 (Double Negation)

  $\neg (\neg p)\equiv p$

• 吸收律 (Absorption Laws)

  $p\vee (p\wedge q)\equiv p$

  $p\wedge (p\vee q)\equiv p$

• 結合律 (Associative Laws)

  $(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$

  $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$

• 交换律 (Commutative Laws)

  $p\vee q\equiv q\vee p$

  $p\wedge q\equiv$

  浅谈离散数学中数理逻辑与集合论的数学本质

  离散数学

  离散数学--3.2 一阶逻辑的等值演算

  离散数学--2.4 命题逻辑推理理论

  离散数学（古典数理逻辑）