Little Sub and Traveling（杭师大第十二届校赛E题） 欧拉回路

Posted 2021-02-13 mountaink

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题目大意：

　　从0出发，每次只能跳到(i*2)%n或者(i*2+1)%n，求字典序最大的哈密顿回路。

思路：

　　首先n为奇数时无解，先来证明这一点。

　　先假设n为奇数，若要回到原点，则必定有一步是$a%n=0$，则$a=kn(k为整数）$。

　　我们先假设a是通过$2x$的方式得到的，即$kn=2*x$，由于此时$n$为奇数，则k必定为偶数，由于$n>x$，所以$k<2$，k又不能等于0，所以此时k无解，a不是通过$s*x$的方法得到的

　　那么$kn=2*x+1$,k为奇数，则$k=1  ，a=n=2*x+1$，也就是说，我们从x出发的这一步，是走到0的位置的，那么$2*x$这一步，就没有点是走到这里来的了，而$2*x=n-1$，又是我们必须到达的点，所以这种方法也无解。

　　那么我们的假设错误，n必须是偶数。

　　在偶数的情况下，我们发现$i$和$i+n/2$的出边相同。 我们把i和i+n/2看成一个点，现在就是一张n/2个点的图，所有点都有两条入边和两条出边，满足欧拉回路每个点度数都为偶数的性质！ 于是只需要跑出欧拉回路就能对应到原问题了，介于欧拉回路算法的性质，贪心走较大的边即可保证字典序最大。（后面这一半是抄的官方题解）

　　对于欧拉回路dfs过程，我们只要倒序输出，得到的就还是我们需要的字典序最大的回路。

#include<bits/stdc++.h>
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn=20010;
int n,vis[maxn],q[maxn],cnt;
void dfs(int u){
    
    if(!vis[(u<<1|1)]){
        vis[(u<<1|1)]=1;
        dfs((u<<1|1)%(n>>1));
        q[++cnt]=(u<<1|1)%n;
    }
    if(!vis[(u<<1)]){
        vis[(u<<1)]=1;
        dfs((u<<1)%(n>>1));
        q[++cnt]=(u<<1)%n;
    }
}
int main(){
    while(cin>>n)
    {
        cnt=0;
        clr(vis,0);
        if(n%2==1){
            puts("-1");
            continue;
        }
        q[++cnt]=0;
        vis[0]=1;
        dfs(0);
        printf("0");
        while(cnt){
            printf(" %d",q[cnt--]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

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