「bzoj 4180: 字符串计数」

Posted 2021-02-13 asuldb

题目

真是一道好题

首先根据一个非常显然的贪心，如果给出了一个串(S)，我们如何算最小操作次数呢

非常简单，我们直接把(S)拉到(T)的(SAM)上去跑，如果跑不动了就停下来，重新回到(1)继续跑

于是我们建出一个(SAM)之后可以写一个这样的暴力，设(d[i][j][k])表示从(i)点到(j)点走(i)条边的最长路，对于那些走不动的边，我们可以接到(1)号节点对应的出边上去，边权为(1)，其余的边权为(0)，矩阵优化一下就是(O(|T|^3logn))的复杂度

显然(|T|)并不允许我们开下如此之大的转移矩阵，尝试换一个角度来考虑这个问题

我们发现我们问题的本质就是最大化最小值，这是不是可以二分一下呢

于是现在的问题变成了对于一个二分出的操作次数(mid)，判断答案是否能够更大

显然我们如果使用(mid)此操作构造出来的串长度小于(n)，那么我们就可以断定答案可能会更大一些

于是又把问题转化成了利用(mid)次操作构造出来的字符串的最小长度

这个如何求呢，我们考虑一次操作无非就是从(1)的某一个出边指向的节点到另一个(1)的出边指向的节点，所以我们求出这些节点两两之间的最短路就好了

于是我们现在又可以利用矩阵转移了，复杂度(O(|T|+|c|^3log^2n)),(|c|)为字符集大小

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define LL long long
#define re register
#define inf 922337203685477580
#define maxn 200005
LL n;
char S[maxn>>1];
int m,lst=1,cnt=1,tot;
int len[maxn],fa[maxn],son[maxn][4],q[maxn],vis[maxn],c[maxn];
LL a[4][4],ans[4][4],t[4][4],d[maxn];
inline void ins(int c) {
    int p=++cnt,f=lst;lst=p;
    len[p]=len[f]+1;
    while(f&&!son[f][c]) son[f][c]=p,f=fa[f];
    if(!f) {fa[p]=1;return;}
    int x=son[f][c];
    if(len[f]+1==len[x]) {fa[p]=x;return;}
    int y=++cnt;len[y]=len[f]+1;
    fa[y]=fa[x],fa[x]=fa[p]=y;
    son[y][0]=son[x][0];son[y][1]=son[x][1];
    son[y][2]=son[x][2];son[y][3]=son[x][3];
    while(f&&son[f][c]==x) son[f][c]=y,f=fa[f];
}
inline void did_t() {
    LL mid[4][4];
    for(re int i=0;i<4;i++)
        for(re int j=0;j<4;j++) mid[i][j]=t[i][j],t[i][j]=inf;
    for(re int k=0;k<4;k++)
        for(re int i=0;i<4;i++)
            for(re int j=0;j<4;j++)
                t[i][j]=min(t[i][j],mid[i][k]+mid[k][j]);
}
inline void did_ans() {
    LL mid[4][4];
    for(re int i=0;i<4;i++) 
        for(re int j=0;j<4;j++) mid[i][j]=ans[i][j],ans[i][j]=inf;
    for(re int k=0;k<4;k++) 
        for(re int i=0;i<4;i++)
            for(re int j=0;j<4;j++)
                ans[i][j]=min(ans[i][j],mid[i][k]+t[k][j]);
}
inline LL solve(LL now) {
    for(re int i=0;i<4;i++)
        for(re int j=0;j<4;j++) t[i][j]=a[i][j],ans[i][i]=inf;
    for(re int i=0;i<4;i++) ans[i][i]=0;
    LL b=now;
    while(now) {if(now&1ll) did_ans();now>>=1ll;did_t();}
    LL tmp=inf;
    for(re int i=0;i<4;i++)
        for(re int j=0;j<4;j++) tmp=min(tmp,ans[i][j]);
    return tmp+b;
}
inline int check(LL now) {return solve(now)<=n;} 
int main() {
    scanf("%lld",&n);scanf("%s",S+1);m=strlen(S+1);
    for(re int i=1;i<=m;i++) ins(S[i]-'A');
    for(re int i=0;i<4;i++)
        for(re int j=0;j<4;j++) a[i][j]=inf;
    for(re int i=0;i<4;i++) {
        tot=0;q[++tot]=son[1][i];
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(d,20,sizeof(d));d[q[1]]=0;
        for(re int j=1;j<=tot;j++) {
            int x=q[j];
            for(re int k=0;k<4;k++) {
                if(vis[son[x][k]]) continue;
                if(!son[x][k]) a[i][k]=min(a[i][k],d[x]);
                else vis[son[x][k]]=1,d[son[x][k]]=d[x]+1,q[++tot]=son[x][k];
            }
        }
    }
    LL l=1,r=n,ans=0;
    while(l<=r) {
        LL mid=l+r>>1ll;
        if(check(mid)) l=mid+1,ans=mid;
            else r=mid-1;
    }
    if(solve(ans)<n) ans++;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}