「LG4782 模板 2-SAT 问题」

Posted 2021-02-11 asuldb

题目

来学(2)-(sat)了

这个东西确实不难

这个算法就是给你一堆(bool)变量(x_1,x_2...x_n)，之后给你一些限制

限制的形式就是给你一对((u,o1,v,o2))

让(x_u=o1)或者(x_v=o2)

之后满足所有限制

这个东西非常容易就能抽象成一个图论模型

我们把每个(x_i)拆成(i)和(i')两个点，分别表示真和假

我们对于每一个限制，连出去一些边，边((x,y))的含义是选择了(x)就必须选择(y)

举个例子吧

如果一条限制是

[(u,0,v,1)]

那么(u)向(v)连边，表示(x_u=1)的时候(x_v)也得等于(1)

同时(v')向(u')连边，表示(x_v=0)的时候(x_u)只能等于(0)

这样的话如果从(i)能通过这种边一路推到(i')就表示让(x_i=1)的话就必须让(x_i=0)这显然不合理

于是就能判断无解情况了，一个(tarjan)下去找一个强联通分量

还有些题目需要我们构造出一组可行解

其实就是输出(col[i]<col[i'])

(col[i])就是这个点所属强联通分量的编号

看起来很神奇，其实是这样的

我们考虑把(tarjan)缩完点的图建出来，发现我们肯定是尽量优先选择那些拓扑序较大的，因为优先选择拓扑序较大的可以使得必须选择的点少一些

由于(tarjan)的性质(col)正好是反向拓扑序，于是如果(i)的(col)较小，也就是拓扑序较大，那就优先选择(x_i=1)

没了

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define re register
#define maxn 2000005
inline int read() {
    char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
struct E{int v,nxt;}e[maxn];
int n,num,cnt,p,mid,top,m;
int col[maxn],head[maxn],dfn[maxn],low[maxn],st[maxn],f[maxn];
inline void add(int x,int y) {e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;}
void tarjan(int x) {
    dfn[x]=low[x]=++cnt;st[++top]=x;f[x]=1;
    for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) 
    if(!dfn[e[i].v]) tarjan(e[i].v),low[x]=min(low[x],low[e[i].v]);
        else if(f[e[i].v]) low[x]=min(low[x],dfn[e[i].v]);
    if(low[x]!=dfn[x]) return;++p;
    do{mid=st[top--];f[mid]=0,col[mid]=p;}while(mid!=x);
}
int main() {
    n=read(),m=read();
    int x,y,o1,o2;
    for(re int i=1;i<=m;i++) {
        x=read(),o1=read(),y=read(),o2=read();
        if(o1==1) {if(!o2) add(x+n,y+n);else add(x+n,y);}
        if(o1==0) {if(!o2) add(x,y+n);else add(x,y);}
        std::swap(x,y),std::swap(o1,o2);
        if(o1==1) {if(!o2) add(x+n,y+n);else add(x+n,y);}
        if(o1==0) {if(!o2) add(x,y+n);else add(x,y);}
    }
    for(re int i=1;i<=n+n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
    for(re int i=1;i<=n;i++) if(col[i]==col[i+n]) {puts("IMPOSSIBLE");return 0;}
    puts("POSSIBLE");
    for(re int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",col[i]<col[i+n]);
    return 0;
}