MT177三个乘积和

Posted 2020-11-02 mathstudy

对任意 2 个 1,2,3,4,5,6 的全排列 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ 和 $(b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6)$，求$\\displaystyle S=\\sum_{i=1}^6 ia_ib_i$ 的最小值______

解答:$\\displaystyle\\sum_{i=1}^6 ia_ib_i \\ge6\\sqrt[6]{6!}=72\\sqrt{5}>160.$
又$162=1*5*5+2*4*4+3*3*3+4*6*1+5*1*6+6*2*2$
且设$ia_ib_i$中最大数为$x(\\textbf{容易知道}x\\ge30)$,故$\\displaystyle\\sum_{i=1}^6 ia_ib_i\\ge x+5\\sqrt[5]{\\frac{6!}{x}}\\ge 30+60\\sqrt[5]{50}>161$ 故最小值162