poj2987 Firing[最小割]

Posted 2021-02-08 saigyouji-yuyuko

题目

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求选最少点个数的最大权闭合子图。（板子题）

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最小割入门题，什么都不想说，丢个别人题解地址就跑。

附加几点个人理解：与s相通的S点集是闭合子图，剩下的与t相通的T点集是其他的。任意一个割都保证了有一个闭合子图是S集。

然后是选最少点个数，考虑加入最大权时存在多个方案，选的点个数不同，既然各方案都是闭合的，那我全选也是闭合的，就会创出更多权值，与之前最大权矛盾，所以最大权一定点数唯一，选法唯一。那就直接从s点找残量网络，把他的点集都找一下，计下数即可。←这里有个原理，做最小割（最大流），而最大流算好后因为最小割必然满流，所以最小割对应的边残量为0，则dfs时就不遍历残量为0的边。←刚才又提到一个结论，一定存在一个最大流使得最小割在其中满流，这里口胡证明一下，防止以后我忘了：最大流做完后s所能到的所有点S集，以及另一T集之间，应当是有一些边满流的也就是残量为0的，不然就可继续增广，就不是最大流了，那这些边对应了一个割CUT[S,T]，再由任意流小于等于任意割结论（打个比方，水流将流到割断的地方，而水流量小于等于容量，故得证）知，任意一个割大于等于这个最大流，即大于等于这个割，那这个割就是最小割，而她满流。证毕。

我还是太菜了啊。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<queue>
 5 using namespace std;
 6 typedef long long ll;
 7 typedef pair<int,int> pii;
 8 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?A=B,1:0;}
 9 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?A=B,1:0;}
10 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
11 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
12 template<typename T>inline void inc(T&A,T B){A+=B;}
13 template<typename T>inline T read(T&x){
14     x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c==‘-‘)f=1;
15     while(isdigit(c))x=x*10+c-‘0‘,c=getchar();return f?x=-x:x;
16 }
17 const int N=5000+7,M=80000+7;ll INF=1ll<<40;
18 int Head[N],cur[N],Next[M<<1],v[M<<1],dis[N],vis[N],tot=1,n,cnt,m,s,t;ll w[M<<1];
19 
20 inline void Addedge(int x,int y,ll z){
21     v[++tot]=y,Next[tot]=Head[x],Head[x]=tot,w[tot]=z;
22     v[++tot]=x,Next[tot]=Head[y],Head[y]=tot,w[tot]=0;
23 }
24 #define y v[j]
25 inline int bfs(){
26     queue<int> q;memset(dis,0,sizeof dis),dis[s]=1,q.push(s);
27     for(register int i=1;i<=n+2;++i)cur[i]=Head[i];
28     while(!q.empty()){
29         int x=q.front();q.pop();
30         for(register int j=Head[x];j;j=Next[j])if(w[j]&&!dis[y]){
31             dis[y]=dis[x]+1,q.push(y);
32             if(y==t)return 1;
33         }
34     }
35     return 0;
36 }
37 ll dinic(int x,ll flow){
38     if(!flow||x==t)return flow;
39     ll rest=flow,k;
40     for(register int j=cur[x];j&&rest;cur[x]=j,j=Next[j])if(w[j]&&dis[y]==dis[x]+1){
41         if(!(k=dinic(y,_min(rest,w[j]))))dis[y]=0;
42         rest-=k,w[j]-=k,w[j^1]+=k;
43     }
44     return flow-rest;
45 }
46 void dfs(int x){
47     for(register int j=Head[x];j;j=Next[j])if(w[j]&&!vis[y])vis[y]=1,++cnt,dfs(y);
48 }
49 #undef y
50 int x,y;
51 ll maxflow,ans,z;
52 
53 int main(){//freopen("tmp.in","r",stdin);freopen("tmp.out","w",stdout);
54     read(n),read(m);s=n+1,t=s+1;
55     for(register int i=1;i<=n;++i)read(z)>0?(inc(ans,z),Addedge(s,i,z)):Addedge(i,t,-z);
56     for(register int i=1;i<=m;++i)read(x),read(y),Addedge(x,y,INF);
57     while(bfs())inc(maxflow,dinic(s,INF));
58     ans-=maxflow;cnt=1,vis[s]=1,dfs(s);
59     printf("%d %lld
",--cnt,ans);
60     return 0;
61 }

 Upd:今天被巨佬嘲讽了说我快读用位运算太慢。orzorzorzTQL