poj1061-青蛙的约会-(贝祖定理+扩展欧几里得定理+同余定理)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了poj1061-青蛙的约会-(贝祖定理+扩展欧几里得定理+同余定理)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

青蛙的约会
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Description

两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Outp

4

前置技能:同余定理→欧几里得定理→贝祖定理→扩展欧几里得定理
贝祖定理:设a,b是整数,则存在整数x,y,使得ax+by=gcd(a,b)
扩展欧几里得定理:求解满足贝祖定理的一组解,即求x,y
求解过程:
对于gcd(a,b)必有ax+by=gcd(a,b),设a>b
1. b=0时,gcd(a,b)=a,此时x=1,y0
2. a>b>0时,设gcd(a,b) = d = gcd(b,a%b) 终有一次递归使得a%b=0,此时return gcd函数中的第一个参数
设ax1 + by1 = gcd(a,b) = d
= bx2 + (a%b)y2 = gcd(b,a%b) = d
∴ ax1 + by1 = bx2 + (a%b)y2
= bx2 + ( a-[a/b]*b )y2 //[a/b]表示对a/b取整,a-[a/b]*b=a%b
       = ay2 + bx2 -[a/b]*by2
       = ay2 + b( x2-[a/b]*y2 )
显然 x1=y2, y1=x2-[a/b]*y2
gcd函数无限递归则可以得到 xi = y(i+1) , yi = x(i+1) - [a/b]*y(i+1)
而终有一次gcd递归使得第二个参数为0,开始返回。

解题过程:
青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。
青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。
纬度线是一个圈,跳过尽头又从起点开始,显然是对L求余,如果位置坐标求余后相等,则可以碰面
设跳跃次数为t,则每次跳跃后,青蛙A的坐标是(x+mt)%L,青蛙B的坐标是(y+nt)%L
有解的情况是:
(x+mt)%L = (y+nt)%L
(x+mt -y-nt)%L = 0
(x+mt -y-nt)%L = 0%L
(m-n)t + (x-y) = 0 (mod L)
(m-n)t = (y-x) (mod L)
(m-n)t + 0 = (y-x) (mod L)
(m-n)t + Lk = (y-x) (mod L)
形如贝祖定理 ax+by = gcd(a,b)
a=(m-n),
b=L=0,
multiple * gcd(a,b)= (y-x), //x和y是题目的起始坐标
x=t, //x是贝祖定理的a解
y=k, //y是贝祖定理的b解
只需要保证题目中的y-x是gcd的倍数就好了
套用欧几里得公式的话,默认解是gcd,题目中的(y-x)只要是gcd的倍数就有解,并且答案解是默认解的倍数
本题的大坑在于负数解!!!
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<math.h>
#include<string>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
// ax + by = gcd(a,b)
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧几里德定理
{
    if(b==0)//终有一次a%b传进来是0,递归出口
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    ll q=exgcd(b,a%b,y,x);
    //最终递归出来,y1=1,x1=0
    y=y-(a/b)*x;
    //后面的y相当于下一个递归的x2,x相当于下一个递归的y2,符合推导公式
    //x1=y2;   y1=x2-[a/b]*y2;
    return q;
}

int main()
{
    ll x,y,m,n,l,c;
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)
    {
        ll t,k,gcd;
        gcd=exgcd(m-n,l,t,k);///欧几里得扩展公式的右边默认是gcd,gcd不需要传进去,t是默认解
        ll multiple=(y-x)/gcd;///如  果右边是gcd的倍数有解,结果也是默认解的某倍

        if( (x-y)%gcd!=0 )
            printf("Impossible
");
        else
            printf("%lld
", ((t*multiple)%l+l)%l );///gcd如果是负的,求模后,加模数再求模
        /*
        样例中, gcd=-1,
        (t*倍数+l)%l则WA,举例:如果t*gcd=-11,l=5,则-6%5=-1
        先模再加再模则AC:保证先模后的数在[-l,l]之间,加l再模保证结果是正数*/
    }
    return 0;
}

 

























































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