数组中的逆序对
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数组中的逆序对相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题目
在数组中的两个数字如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数。
思路
一,直接求解
顺序扫描整个数组。每扫描到一个数字的时候,逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小,则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n 个数字。由于每个数字都要和O(n)个数字作比较, 因此这个算法的时间复杂度是O(n^2)。
二,分析法
我们以数组{7, 5, 6, 4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候,我们不能拿它和后面的每一个数字作比较,否则时间复杂度就是O(n^5),因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。
如图5 . 1 ( a )和图5.1 ( b)所示,我们先把数组分解成两个长度为2的子数组, 再把这两个子数组分别拆分成两个长度为1 的子数组。接下来一边合并相邻的子数组, 一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1 的子数组{7}、{5}中7 大于5 , 因此(7, 5)组成一个逆序对。同样在第二对长度为1 的子数组{6}、{4}中也有逆序对(6, 4)。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对,因此需要把这两对子数组排序( 图5.1 ( c)所示),以免在以后的统计过程中再重复统计。
(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组;
(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组;
(c) 把长度为1的子数组合并、排序并统计逆序对;
(d) 把长度为2的子数组合并、排序,并统计逆序对;
在上图(a)和(b)中,我们先把数组分解成两个长度为2的子数组,再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组,一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5,因此(7,5)组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对(6,4)。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对,因此需要把这两对子数组排序如上图(c)所示,以免在以后的统计过程中再重复统计。
接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。
我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾,并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字,则构成逆序对,并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数,如下图(a)和(c)所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字,则不构成逆序对,如图b所示。每一次比较的时候,我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中,确保辅助数组(记为copy)中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后,把对应的指针向前移动一位,接下来进行下一轮比较。
先把数组分割成子数组,先统计出子数组内部的逆序对的数目,然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中,还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉,我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; class Solution { public: int inverse_pair(vector<int> &data); long long inverse_pair_core(vector<int> &data,vector<int> &cp,int start,int end); }; int Solution::inverse_pair(vector<int> &data) { if(data.empty()||data.size()<=0) return -1; vector<int> cp(data.begin(),data.end()); return inverse_pair_core(data,cp,0,data.size()-1)%1000000007; } long long Solution::inverse_pair_core(vector<int> &data,vector<int> &cp,int start,int end) { if(start==end)//划分数组,子数组只有一个元素时的情况 { cp[start]=data[start]; return 0; } int mid=(start+end)/2; long long left_count=inverse_pair_core(cp,data,start,mid); long long right_count=inverse_pair_core(cp,data,mid+1,end); int i=mid; int j=end; int cp_index=end; int count=0; while(i>=start&&j>mid) { if(data[i]>data[j]) { cp[cp_index--]=data[i--]; count+=j-mid; } else cp[cp_index--]=data[j--]; } while(i>=start) cp[cp_index--]=data[i--]; while(j>mid) cp[cp_index--]=data[j--]; return left_count+right_count+count; } int main() { vector<int> data{7,5,6,4}; Solution s; cout<<s.inverse_pair(data)<<endl; return 0; }
以上是关于数组中的逆序对的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章