Codeforces 1110D Jongmah （DP）

Posted 2021-02-08 pkgunboat

题意：你有n个数字，范围[1, m]，你可以选择其中的三个数字构成一个三元组，但是这三个数字必须是连续的或者相同的，每个数字只能用一次，问这n个数字最多构成多少个三元组?

解析：首先我们容易发现，我们发现，假设有3个三元组（x, x + 1, x + 2),我们不妨把这3个三元组换成(x, x, x), (x + 1, x + 1, x + 1), (x + 2, x + 2, x + 2)这3个三元组。那么，对于每个x，最多有2个(x, x + 1, x + 2)这样的三元组。这样，每个阶段的状态数就是有限的了。

设dp[i][j][k]为数字1到i，有j个(i - 1, i , i  + 1)三元组，k个(i , i + 1, i + 2)三元组可以组成的最多的三元组的数目，我们现在考虑向i + 1转移。因为前面有j个(i - 1, i , i  + 1)，k个(i , i + 1, i + 2)，假设本来有t个i + 1,那么现在可用来构成新的三元组的i + 1有t - j - k个。

这t - j - k个i + 1可以用来构成(i + 1, i + 2, i + 3)，也可用来构成(i + 1, i + 1, i + 1)。我们就可以枚举这些i + 1是形成什么样的三元组来进行状态转移了。初态：dp[0][0][0] = 0，其余负无穷。末态：dp[m + 1][0][0]。因为m + 1肯定没有数，所以dp[m + 1][0][0]是m + 1处的唯一合法状态，也就是答案。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ls(x) (x << 1)
#define rs(x) ((x << 1) | 1)
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 1000010;
int a[maxn], cnt[maxn];
int dp[maxn][3][3];
int main () {
	int n, m;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
		cnt[a[i]]++;
	}
	memset(dp, -0x3f, sizeof(dp));
	dp[0][0][0] = 0;
	for (int i = 0; i <= m + 1; i++) {
		for (int j = 0; j < 3; j++)
			for (int k = 0; k < 3; k++) {
				if(dp[i][j][k] < 0) continue;
				int now = cnt[i + 1] - j - k;
				for (int t = 0; t < 3 && t <= now; t++) {
					dp[i + 1][k][t] = max(dp[i + 1][k][t], dp[i][j][k] + (now - t) / 3 + t);
				}
			}
	}
	printf("%d
", dp[m + 1][0][0]);
	return 0;
}