01背包问题（动态规划）

Posted 2021-02-08 bravewtz

给出背包容量C，M个物体，接下来M行分别给出物品价值V[i],以及物品重量W[i]，

物品编号： 1 2 3

物品重量： 5 6 4

物品价值：20 10 12

要使得放入背包的物品价值最大化，我们知道用贪心肯定是不行的。

所以考虑动态规划，首先定义状态dp[i][j]为放入前i（i从小到大）个物品的最大价值，那么i等于1的时候，放入的是物品1，这时候肯定是最优的。

接下来考虑一下j, j是当前容量；如果j < 5，就不能放，dp[1][j]=0; 那如果j > 5m就可以放了，dp[1][j] = 20;

接着 i = 2 放第二个物品的时候，求得就是 dp[2][j] 了，当 j < 5 的时候 ，同样的dp[2][j] = 0；那当j<6的时候，是不是还是放不下第二个，只能放第一个。

那么想一下，是不是当j>6的时候，就可以放第二个了呢？答案是可以的，但结果明显不是最优的，想一下，dp[2][j]=20，这个20是怎么来的呢，当然是从前一个状态来的（注意这里分为两种情况）

一种是选择第二个物品放入，另一种还是选择前面的物品；

让我们假设一下，j = 10 吧，这时候 dp[2][10] = max(dp[1][ 10 - w[2] ]+V[2]  ,  dp[1][10] );       即dp[2][10] = max(dp[1][4])+10，dp[1][10])；

结果是不是很明显了，dp[1][4])+10是选择了第二个，于是容量相应就减少成4，之前已经得出dp[1][4]=0，就是说选了物品2，物品1就选不了了；dp[1][10]是不选择第二个，只选择第一个dp[1][10]是等于20的，于是得出dp[2][10]=20；

推到这里，我们类比往下推，就可以得出动态状态转移方程 ，dp[i][j] = max( dp[i-1][j - W[i] ]+ V[i]  ,  dp[i-1][j] )

但是好像还有一些问题没考虑完.........

看回例子：

物品编号： 1 2 3

物品重量： 5 6 4

物品价值：20 10 12

我们知道dp[1]j=20，dp[2]j的时候是多少呢？我们看到动态转移方程并没有考虑j<w[i]的情况，但是我们可以加进去，由于dp[2][5]我们看出来是等于5的，为什么？因为不能选第二个，只能选第一个，所以.....dp[2][5]是不是刚好等于dp[1][5]了呢！所以当j<w[i]的时候，dp[i][j] = dp[i-1][j]就好了.

接下来上一道例题：

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入输出格式

输入格式：

 

第一行有222个整数T(1≤T≤1000)T(1 le T le 1000)T(1≤T≤1000)和M(1≤M≤100)M(1 le M le 100)M(1≤M≤100)，用一个空格隔开，TTT代表总共能够用来采药的时间，MMM代表山洞里的草药的数目。
接下来的MMM行每行包括两个在111到100100100之间（包括111和100100100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

 70 3

71 100

69 1

1 2

输出格式：

 

111个整数，表示在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

3

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const int maxn=100+10;
 6 int w[maxn],val[maxn];
 7 int dp[maxn][1005];
 8 
 9 int main(){
10     int t,m;
11     cin>>t>>m;
12     for( int i=1; i<=m; i++ ){
13         cin>>w[i]>>val[i];
14     }
15     for( int i=1; i<=m; i++ ){
16         for( int j=t; j>=0; j-- ){
17             if(j>=w[i]){
18                 dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+val[i],dp[i-1][j]);
19             }
20             else{
21                 dp[i][j]=dp[i-1][j];
22             }
23         }
24     }
25     cout<<dp[m][t];
26     return 0;
27 }