动态规划-第二节：动态规划之背包类型问题

Posted 2022-12-07 我擦我擦

文章目录

• 一：01背包问题
• • （1）题目描述
  • （2）解题思路
  • （3）完整代码
• 二：分割等和子集（01背包变形）
• • （1）题目描述
  • （2）解题思路
  • （3）完整代码
• 三：完全背包问题
• • （1）题目描述
  • （2）解题思路
  • （3）完整代码

一：01背包问题

（1）题目描述

给你一个可装载重量为 W 的背包和 N 个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第 i 个物品的重量为 wt[i]，价值为 val[i]，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？

举个简单的例子，输入如下：

N = 3, W = 4
wt = [2, 1, 3]
val = [4, 2, 3]

算法返回 6，选择前两件物品装进背包，总重量 3 小于 W，可以获得最大价值 6

（2）解题思路

①：考虑状态和选择是什么

• 状态：由于物品不断装入背包，所以状态有两个，分别为背包容量和可选择的物品
• 选择：对于每件物品，你的选择就是要么装进背包要么不装进背包（也就是0和1）

伪代码如下

②：明确table数组定义：状态有两个，所以要定义成一个二维表。table[i][w]表示，对于前i个物品，当前背包的容量为w，此种情况下可以装入的最大价值为table[i][w]

• 例如：table[3][5] = 6，其含义为对于给定的一系列物品中，若只对前 3 个物品进行选择，当背包容量为 5 时，最多可以装下的价值为 6
• 最终返回：table[N][W]
• 最简单情况：没有物品或背包没有空间时，能装的最大价值为0，即table[0][...]=table[...][0]=0

伪代码如下

③：根据选择，思考转移的逻辑：也即如何把选择用代码描述出来

• 如果没有把第i个物品放在背包：很显然，既然没有把第i个放进去，那么价值量不会增加，状态也不会变化,也即table[i][w]==table[i-1][w]
• 如果把第i个物品放入了背包：既然放入了背包，那么此状态的容量一定会减少wt[i]，而价值则会增加val[i]，因此dp[i][w]==dp[i-1][w-wt[i-1]]+val[i-1]

需要注意的是i是从1开始的，因此val和wt的索引中i-1表示第i个物品。所以dp[i][w]==dp[i-1][w-wt[i-1]]+val[i-1]表示如果把第i个物品装入了，就要寻找剩余重量w-wt[i-1]限制下的最大价值，加上第i个物品的价值val[i-1]

伪代码如下

（3）完整代码

int knapsack(int W, int N, vector<int> &wt, vector<int> &val)
    //状态有两个，所以建一个二维数组，注意让其索引从1开始
    //最简单情况：table[0][....]=table[....][0] = 0，表示没有物品或背包没有空间时，能装的价值为0
    vector<vector<int>> table(N+1, vector<int>(W+1, 0));

    //填表过程
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        for(int w = 1; w <= W; w++)
            //情况1：若果当前背包容量不足以装下这个物品，则不装入，那么table只能继承前一个
            //w - wt[i-1]表示如果把重量为wt[i-1]的物品装入后的重量
            if(w - wt[i-1] < 0)
                table[i][w] = table[i-1][w];
            else
                //情况2：可以装入,那么就选择最大价值
                //
                table[i][w] = max(
                        table[i-1][w-wt[i-1]] + val[i-1],
                        table[i-1][w]
                        );
            
        
    

    return table[N][W];


int main()
    int W = 4;
    int N = 3;
    vector<int> wt =2, 1, 3;
    vector<int> val =4, 2, 3;

    cout << knapsack(W, N, wt, val) << endl;

二：分割等和子集（01背包变形）

（1）题目描述

• LeetCode416：分割等和子集

输入一个只包含正整数的非空数组 nums，请你写一个算法，判断这个数组是否可以被分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等

举个简单的例子，输入如下

nums = [1,5,11,5]

算法返回 true，因为 nums 可以分割成 [1,5,5] 和 [11] 这两个子集

（2）解题思路

此题可以转化为背包问题去做，背包问题是这样说的

你一个可装载重量为 W 的背包和 N 个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第 i 个物品的重量为 wt[i]，价值为 val[i]，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？

故问题转化为：给你一个可装载重量为sum/2的背包和N个物品，每个物品重量为nums[i]，现在让你装物品，问是否存在一种装法，可以恰好把背包装满

---

①：考虑状态和选择是什么

• 状态：由于物品不断装入背包，所以状态有两个，分别为背包容量和可选择的物品
• 选择：对于每件物品，你的选择就是要么装进背包要么不装进背包（也就是0和1）

②：明确table数组定义：状态有两个，所以要定义成一个二维表。table[i][j]=x表示，对于前i个物品，当前背包的容量为j时，若x为true，则说明恰好可以把背包装满，反之若x为false则表示不可以恰好把背包装满

• 例如：table[3][5] = true，其含义为对于容量为9的背包，如果只用前4个物品，可以有一种方法将背包装满（对本题来说，就是对于给定的集合，如果只对前4个数字进行选择，存在一个子集的和可以恰好凑出9）
• 最终返回：table[元素个数][sum/2]
• 最简单情况：，table[...][0]=true表示背包没有空间时相当于装满了；table[0][...]=false表示没有元素时肯定没办法装满背包

③：根据选择，思考转移的逻辑：也即如何把选择用代码描述出来

• 如果没有把第i个物品放在背包（没有把nums[i]算入子集）：同理，此时取决于上一个状态，即table[i][j]==table[i-1][j]
• 如果把第i个物品放入了背包（把nums[i]算入子集）：同理，取决于状态table[i-1][j-nums[i-1]]

（3）完整代码

class Solution 
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) 
        int sum = 0;
        for(auto e : nums)
            sum += e;
        
        //和为奇数时是不可能分开的
        if(sum % 2 != 0)
            return false;
        
        sum /= 2;
        int n = nums.size();
        //默认全为false
        vector<vector<bool>> table(n+1, vector<bool>(sum+1));
        for(int i = 0; i <= n; i++)
            table[i][0] = true;
        

        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= sum; j++)
                if(j-nums[i-1] < 0)
                    table[i][j] = table[i-1][j];
                else
                    table[i][j] = table[i-1][j] || table[i-1][j-nums[i-1]];
                
            
        

        return table[n][sum];

    
;

---

1：牛客-求正数数组的最小不可组成和

牛客

如果按照原生的背包问题可以这样理解：min为最轻物品的质量，sum为所有物品的总质量，假设有一个背包，其容量范围在[min,sum]之间，还有len件不同重量的物品、、、

也即把数组中的数据看作物品的重量，如果这些物品不能填满某个容量（范围为[min,max]）的背包，就表示不能组成那个范围的数

class Solution 
public:
	/**
	 *	正数数组中的最小不可组成和
	 *	输入：正数数组arr
	 *	返回：正数数组中的最小不可组成和
	 */
	int getFirstUnFormedNum(vector<int> arr, int len) 
    
        //范围为[min,sum];
        int sum=0,min=arr[0];
        int i,j;
        for(int i=0;i<len;i++)
        
            sum+=arr[i];
            min=arr[i] < min ? arr[i] : min;
        
        vector<int> dp(sum+1,0);
        for(i=0;i<len;i++)
        
            for(j=sum;j>=arr[i];j--)//对于背包容量小于物品的直接忽略
            
                if(dp[j] < dp[j-arr[i]]+arr[i])//选上了
                    dp[j]=dp[j-arr[i]]+arr[i];
                else//没选上
                    dp[j]=dp[j];
            
        
        
        //最后只要放入的重量不是那个区间的数肯定就是所求
        for(i=min;i<=sum;i++)
        
            if(i!=dp[i])
                return i;
        
        return sum+1;
    
;

三：完全背包问题

（1）题目描述

• LeetCode518：零钱兑换 II

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount，写一个函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个

函数签名如下

int change(int amount, vector<int>& coins);

举个简单的例子，输入如下

amout = 5
coins = [1, 2, 5] 

算法返回4，因为共有如下4种方式可以凑出目标金额

5 = 5

5 = 2+2+1

5 = 2+1+1+1

5 = 1+1+1+1+1

（2）解题思路

此题可以转化为背包问题去做，等价描述为

有一个背包，最大容量为amout，有一系列物品coins，每个物品的重量为coins[i]，物品数量无限，请问有多少种方法可以把背包恰好装满？

①：考虑状态和选择是什么

• 状态：由于物品不断装入背包，所以状态有两个，分别为背包容量和可选择的物品（每个物品可以重复选择）
• 选择：对于每件物品，你的选择就是要么装进背包要么不装进背包（也就是0和1）

②：明确table数组定义：状态有两个，所以要定义成一个二维表。table[i][j]表示，对于前i个物品（可重复使用），当前背包的容量为j时，有table[i][j]种方法可以装满背包（即若只使用conis中的前i个硬币的面值，若要凑出金额j，有table[i][j]种方法）

• 例如：table[3][5] = 6，其含义为对于给定的一系列物品中，若只对前 3 个物品进行选择，当背包容量为 5 时，有6种方法可以装满背包
• 最终返回：table[N][amout]，其中N为conis数组大小
• 最简单情况：table[0][....]=0（不使用任何硬币面值，自然无法凑出）；table[...][0]=1（如果凑出的目标金额为0，那么唯一做法就是什么都不做）

③：根据选择，思考转移的逻辑：也即如何把选择用代码描述出来

• 如果没有把第i个物品放在背包（也即不使用coins[i-1]这个面值的硬币）：很显然，状态也不会变化,也即table[i][j]==table[i-1][j]
• 如果把第i个物品放入了背包（也即使用了coins[i-1]这个面值的硬币）：既然你决定用这个面值的硬币，那么接下来你就应该关注如何凑出金额j-coins[i-1]

（3）完整代码

class Solution 
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) 
        int n  = coins.size();
        vector<vector<int>> table(n+1, vector<int>(amount+1));
        for(int i = 0; i <= n; i++)
            table[i][0] = 1;
        

        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= amount; j++)
                if(j - coins[i-1] < 0)
                    table[i][j] = table[i-1][j];
                else
                    table[i][j] = table[i-1][j] + table[i][j-coins[i-1]];
                
            
        
        return table[n][amount];
    
;