Gym - 100623J Just Too Lucky (数位dp)

Posted 2021-02-07 asdfsag

给定n∈[1,1e12]，求1到n的所有整数中，各位数字之和能整除它本身的数的个数。

这道题与UVA-11361类似，假如设dp[u][lim][m1][m2]为枚举到第u位(从低到高数)，是否受限，各位之和为m1，本身为m2时继续往下枚举能得到的答案数，可以得到正确的答案。但m2过大不能直接作为状态保存，如果对各位之和取模的话，又会发现dp的过程中模数是不确定的，怎么办？

解决方法是枚举模数，也就是枚举各位之和k，这样模数就固定了，就可以轻松地往下转移了。边界条件为u<0&&m1==k&&m2==0，状态转移方程见代码。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 const ll N=12+2;
 6 ll bit[N],nb,d[N][2][130][130],a,b,k;
 7 ll dp(ll u,ll lim,ll m1,ll m2) {
 8     if(u<0) {
 9         if(m1==k&&m2==0)return 1;
10         return 0;
11     }
12     ll& ret=d[u][lim][m1][m2];
13     if(~ret)return ret;
14     ret=0;
15     for(ll i=0; i<=(lim?bit[u]:9); ++i)ret+=dp(u-1,lim&&i==bit[u],m1+i,(m2*10+i)%k);
16     return ret;
17 }
18 
19 ll getans(ll x) {
20     ll ans=0;
21     for(nb=0; x; x/=10)bit[nb++]=x%10;
22     for(k=1; k<=120; ++k) {
23         memset(d,-1,sizeof d);
24         ans+=dp(nb-1,1,0,0);
25     }
26     return ans;
27 }
28 
29 int main() {
30     freopen("just.in","r",stdin);
31     freopen("just.out","w",stdout);
32     ll n;
33     scanf("%lld",&n);
34     printf("%lld
",getans(n));
35     return 0;
36 }