封闭形式的直接解

Posted 2021-02-07 xiaoyh

　　对于一些算法问题，求次数，种类数(答案就是一个具体的数值)这些，如果有封闭形式就可以直接解，就不用去编码大量的代码了。那我们看一个例子吧。

汉诺塔移动次数：

　　我们以前是求汉诺塔的移动方式，那现在要求移动多少次，那该怎么做呢？我们可以先看汉诺塔的移动次数递归式 f(n) = 2f(n-1)+1 。那是怎么得出这个式子呢，我们可以先举例，假如只有一个盘子，那么只有一种移动方式，如果有两个盘子，那么就有三种移动方式，那如果有三个盘子，就有7种移动方式，于是我们可以得出一个等式  f(n) = 2ⁿ-1，那么这个等式就叫做封闭形式的解，那如果求n个盘子的移动次数，那直接代入这个式子就可以得出解了。就不用进行大量递归等操作了。

　　那我们就可以总结一下了，封闭形式的解呢就是利用发现的规律，利用数学求和等知识，总结出一个关于n的算式 f(n)，就可以直接利用这个算式算出f(n)。那这个就相当于高中时求数列的一个通项公式，有些规律不太好发现，我们也可以做些合理的假设，然后找些简单的数据进行验证。比如2ⁿ，cos，sin这些都可以做些假设。

　　那比如上面求汉诺塔移动次数，那实际上就是求数列1，3，7......关于n的一个通项公式嘛，可以发现这既不是等差数列，也不是等比数列，那如果我们再加一那不就是等比数列了吗，那就可以直接利用高中所学的通项公式求出这个数列的通项了。有的通项公式可以利用前面数据得出后面的数据，有的直接就可以得出关于n的一个表达式，而有的就需要去猜测一些常见的表达式，然后再去补充验证。

　　但是要注意，这里求f(n)一定不要是一个递推式，而是一个等式，就算只能得出递推式，也一定要想办法得出等式，这样才能直接利用这个等式解题，而免去了大量的代码工作。