NURBS曲线与曲面
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了NURBS曲线与曲面相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
B样条方法在表示与设计自由型曲线曲面形状时显示了强大的威力,然而 | |
在表示与设计初等曲线曲面时时却遇到了麻烦。因为B样条曲线包括其特例的 | |
Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线,B样条曲面包括其特例的 | |
Bezier曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面,而只能给出近似表示。 | |
提出NURBS方法,即非均匀有理B样条方法主要是为了找到与描述自由型曲线 | |
曲面的B样条方法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。 | |
NURBS方法的主要优点: | |
(1)既为标准解析形状(即前面提到的初等曲线曲面),又为自由型曲线 | |
曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。 | |
(2)修改控制顶点和权因子,为各种形状设计提供了充分的灵活性。 | |
(3)具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术(包括节点插入、细 | |
分、升阶等)。 | |
(4)对几何变换和投影变换具有不变性。 | |
(5)非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。 | |
不过,目前应用NURBS中还有一些难以解决的问题: | |
(1)比传统的曲线曲面定义方法需要更多的存储空间,如空间圆需7个参 | |
数(圆心、半径、法矢),而NURBS定义空间圆需38个参数。 | |
(2)权因子选择不当会引起畸变。 | |
(3)对搭接、重叠形状的处理很麻烦。 | |
(4)反求曲线曲面上点的参数值的算法,存在数值不稳定问题。 | |
3.4.1 NURBS曲线的定义 | |
NURBS曲线是由分段有理B样条多项式基函数定义的: | |
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其中,Ri,k(t)(i=0,1,…,n)称为k阶有理基函数,Ni,k(t)是k 阶B样条 | |
基函数,Pi(i=0,1,…,n)是特征多边形控制顶点位置矢量;w i是与Pi对应 | |
的权因子,首末权因子w 0,w n>0,其余w i3 0,以防止分母为零及保留凸包 | |
性质、曲线不因权因子而退化为一点;节点矢量为T=[t0, t1, … , ti, …, | |
点tn+k],节个数是m=n+k+1(n为控制项的点数,k为B样条基函数的阶数)。 | |
对于非周期NURBS曲线,常取两端节点的重复度为k,即 | |
有:,在大多数实际应用中,a =0, | |
b =1。P(t)在区间上是一个k-1次有理多项式,P(t)在整条曲线上 | |
具有k-2阶连续性,对于三次B样条基函数,具有C2连续性。当n=k-1时,k阶 | |
NURBS曲线变成k-1次有理Bezier曲线,k阶NURBS曲线的节点矢量中两端节点的 | |
成节点重复度取k+1就使得曲线具有同次有理Bezier曲线的端点几何性质。 | |
Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质: | |
(1)局部支承性:Ri,k(t)=0,t? [ti, ti+k]; | |
(2)权性:; | |
(3)可微性:如果分母不为零,在节点区间内是无限次连续可微的,在 | |
节点处 (k-1-r)次连续可导,r是该节点的重复度。 | |
(4)若w i=0,则Ri,k(t)=0; | |
(5)若w i=+¥ ,则Ri,k(t)=1; | |
(6)若w j=+¥ ,且j1 i,则Ri,k(t)=0; | |
(7)若w j=1,j=0,1,…,n, 则是B样条基函数;若w | |
jj=1,=0,1,…,n,且 则,Bi,k(t)是 | |
Bernstein基函数。 | |
Ri,k(t)与Ni,k(t)具有类似的性质,导致NURBS曲线与B样条曲线也具有类 | |
似的几何性质: | |
(1)局部性质。k阶NURBS曲线上参数为的一点 | |
至多与k个控制顶点Pi及权因子有关,与其它顶 | |
点和权因子无关;另一方面,若移动k次NURBS曲线的一个控制顶点Pi或改变所 | |
联系的权因子仅仅影响定义在区间上那部分曲线的形状 | |
(2)变差减小性质。 | |
(3)凸包性。定义在非零节点区间上曲线段 | |
位于定义它的k+1个控制顶点的凸包内。整条NURBS曲线位于所 | |
有定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集内。所有权因子的非负性,保证了 | |
凸包性质的成立。 | |
(4)在仿射与透射变换下的不变性。 | |
(5)在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。 | |
(6)如果某个权因子为零,那么相应控制顶点对曲线没有影响。 | |
(7)若,则当时,。 | |
(8)非有理与有理Bezier曲线和非有理B样条曲线是NURBS曲线的特殊情 | |
况 。 | |
3.4.2 齐次坐标表示 | |
为了便于讨论,我们考虑平面NURBS曲线的情况。图3.1.34所示,如果给 | |
一组控制顶点及对应的权因子 | |
则在齐次坐标系xyw中的控制顶点为。 | |
齐次坐标下的k阶非有理B样条曲线可表示为: | |
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若以坐标原点为投影中心,则得到平面曲线: | |
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三维空间的NURBS曲线可以类似地定义。即对于给定的一组控制顶点 | |
及对应的权因子,则有相应 | |
带权控制点,定义了一条四维的 | |
k阶非有理B样条曲线,然后,取它在第四坐标的超平面上的中心 | |
投影,即得三维空间里定义的一条k阶NURBS曲线。这不仅包含了明确的 | |
几何意义,也说明,非有理B样条的算法可以推广到NURBS曲线,只不过是在 | |
齐次坐标下进行。 | |
3.4.3 权因子的几何意义 | |
由于NURBS曲线权因子w i只影响参数区间定义在区间 | |
上的那部分曲线的形状,因此,我们只考察整条曲线的这一部分。如果固定曲线的参数t,而使变化,则NURBS曲线方程变成以为参数的直线方程,即 | |
NURBS曲线上t值相同的点都位于同一直线上,如图3.1.35所示。我们把曲线与 | |
有理基函数的记号用用如下包含其权因子为变量的记号替代。因当时 | |
,的,故该直线通过控制顶点, | |
分别是对应曲线上的点,即, | |
,。 | |
令 a =Ri,k(t; w i=1 ),b = Ri,k(u) |
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N,Bi可表示为: | |
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用a 、b 可得到下述比例关系: | |
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上式是(Pi,Bi,N,B)四点的交比,由此式可知: | |
(1)若w i增大活减小,则b 也增大或减小,所以曲线被拉向或推离开 | |
Pi点; | |
(2)若w j增大或减小,曲线被推离或拉向Pj(j1 i)。 | |
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3.4.4 圆锥曲线的NURBS表示 | |
若取节点向量为,则NURBS曲线退化为二次Bezier曲线, | |
且 | |
可以证明,这是圆锥曲线弧方程,称为形状因子,的值 | |
确定了圆锥曲线的类型。时,上式是抛物线弧,时, | |
上式是双曲线弧,时,上式是椭圆弧。且时,上式 | |
退化为一对直线段和,时,上式退化为连接 | |
两点的直线段,如图3.1.36所示。 | |
3.4.5 NURBS曲线的修改 | |
NURBS曲线的修改有多种方式,常用的方法有修改权因子、控制点和反插 | |
节点。 | |
1.修改权因子 | |
权因子的作用是:当保持控制顶点和其它权因子不变,减少或增加某权因 | |
子时,曲线被推离或拉向相应顶点。假定已给k阶(k-1)次NURBS曲线上参数 | |
为t的一点S,欲将曲线在该点拉向或推离控制顶点一个距离d,以得到新点 | |
,可由重新确定相应的权因子使之改变为来达到,如图3.1.37所示。 | |
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其中,表示和两点间的距离,d有正负之分,若在和之 | |
间,即曲线被拉向顶点和,d为正,反之为负。 | |
修改过程是拾取曲线上一点,并确定该点的参数,再拾取 | |
控制多边形的一个顶点,它是k+1个控制顶点中的一个,即 | |
,便可算出两点间的距离d。若在直线段上拾取一个点 | |
,就能确定替代老权因子的新权因子,修改后的曲线将通过点。 | |
2.修改控制顶点 | |
若给定曲线上参数为的一点S,方向矢量V和距离d,计算控制顶点的 | |
新位置,以使曲线上S点沿V移动距离d到新位置。可表示为: | |
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于是:
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由此可得新控制顶点:
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3.反插节点 | |
给定控制多边形顶点与权因子及节点矢量 | |
,就定义了一条k阶NURBS曲线。现欲在该多边形的 | |
的边上选取一点,使得点成为一个新的控制顶点,这就是所谓反插节点。 | |
点可按有理线性插值给出: | |
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于是:
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所以 |
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这就是使得成为一个新控制顶点而要插入的新节点。 | |
当插入新节点使成为新控制顶点的同时,将有k-2个老控 | |
制顶点被包括在内的新控制顶点所替代,如图3.1.38所示。 | |
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3.4.6 非均匀有理B样条(NURBS)曲面 | |
1.NURBS曲面的定义 | |
由双参数变量分段有理多项式定义的NURBS曲面是: | |
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式中是矩形域上特征网格控制点列,是相应控制点的权因子,规定 | |
四角点处用正权因子,即,其余。 | |
和是p阶和q阶的B样条基函数,是双变量有理基函数: | |
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节点矢量和按de Boor递推 | |
公式决定,通常具有下面的形式: | |
p个 q个
p个 q个 |
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2.NURBS曲面的性质 | |
有理双变量基函数与非有理B样条基函数相类似的性质: | |
(1)局部支承性质:,当或 | |
; | |
(2)权性:; | |
(3)可微性:在每个子矩形域内所有偏导数存在,在重复度为r的u节点 | |
处沿u向是p-r-1次连续可微,在重复度为r的v节点处沿v向是q-r-1次连续可 | |
微; | |
(4)极值:若p,q>1,恒有一个极大值存在; | |
(5)是双变量B样条基函数的推广。 | |
NURBS曲面与非有理B样条曲面也有相类似的几何性质,权因子的几何意义 | |
及修改、控制顶点的修改等也与NURBS曲线类似,这里不在赘述。 | |
我们已经知道,计算机中表示形体,通常用线框、表面和实体三种模 | |
型。线框模型和表面模型保存的三维形体信息都不完整,只有实体模型才能 | |
够完整地、无歧义地表示三维形体。前面我们已经介绍了曲线曲面常用的的 | |
表示形式及其理论基础,从本小节开始,我们介绍实体造型技术的有关问题, | |
主要包括形体在计算机内的表示、分类求交算法和典型的实体造型系统。 | |
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以上是关于NURBS曲线与曲面的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章