POJ 1187 陨石的秘密 （线性DP）

Posted 2021-02-07 pkgunboat

题意：

公元11380年，一颗巨大的陨石坠落在南极。于是，灾难降临了，地球上出现了一系列反常的现象。当人们焦急万分的时候，一支中国科学家组成的南极考察队赶到了出事地点。经过一番侦察，科学家们发现陨石上刻有若干行密文，每一行都包含5个整数： 
1 1 1 1 6 
0 0 6 3 57 
8 0 11 3 2845 
著名的科学家SS发现，这些密文实际上是一种复杂运算的结果。为了便于大家理解这种运算，他定义了一种SS表达式： 
1． SS表达式是仅由‘{‘，‘}‘，‘[‘，‘]‘，‘（‘，‘）‘组成的字符串。 
2． 一个空串是SS表达式。 
3． 如果A是SS表达式，且A中不含字符‘{‘，‘}‘，‘[‘，‘]‘，则(A)是SS表达式。 
4． 如果A是SS表达式，且A中不含字符‘{‘，‘}‘，则[A]是SS表达式。 
5． 如果A是SS表达式，则{A}是SS表达式。 
6． 如果A和B都是SS表达式，则AB也是SS表达式。 


例如 
()(())[] 
{()[()]} 
{{[[(())]]}} 
都是SS表达式。 
而 
()([])() 
[() 
不是SS表达式。 

一个SS表达式E的深度D(E)定义如下： 
 
例如(){()}[]的深度为2。 

密文中的复杂运算是这样进行的： 
设密文中每行前4个数依次为L1，L2，L3，D，求出所有深度为D，含有L1对{}，L2对[]，L3对()的SS串的个数，并用这个数对当前的年份11380求余数，这个余数就是密文中每行的第5个数，我们称之为?神秘数?。 
密文中某些行的第五个数已经模糊不清，而这些数字正是揭开陨石秘密的钥匙。现在科学家们聘请你来计算这个神秘数。 

思路：

初始想法：我们令dp[l1][l2][l3][d]为用了l1个小括号，l2个中括号，l3个大括号，深度恰好为d时的方案数，现在我们来找状态之间的联系。然而我们可以发现一个残酷的事实，光用4个变量无法很好的表示一个状态。比如，我们添加一个小括号，当前状态带表的括号序列中，有一部分序列的深度增加了，有一部分没有增加，所以为了正确的转移状态，正常想法就是用状压之类的记录具体方案，然而这个题就。。。

我们可以发现，新添加一个括号，括号序列的深度最多增加1，要么就不变，所以，如果dp[l1][l2][l3][d]表示的是用了l1个小括号，l2个中括号，l3个大括号，深度小于等于d的方案数就很好办了，添加一个括号后从深度小于等于d的状态转移到深度小于等于d + 1的状态。

则等于d的方案数 = 小于等于d的方案数 - 小于等于d - 1的方案数。

还有一个问题，我们怎么不重不漏的写出状态转移的过程？我们可以发现，所有深度小于等于d的括号序列是由若干个深度小于等于d的嵌套的括号构成的，所以，我们可以这样转移状态：我们把当前状态分成2个部分，一个部分用来形成嵌套的括号，另一部分对应的是那个状态的方案数。我们枚举向最里面添加什么括号。因为大括号外面不能有其它的括号，所以当在最里面套大括号时，只能有大括号。例如，当前嵌套形的括号是{[()]},我们不能向里面添加{},但是添加小括号可以，变成{[(())]}。同理，枚举状态时，当添加的是中括号时，外面只能是中括号和大括号。

思路和代码实现参考了这篇博客：https://blog.csdn.net/Flying_Stones_Sure/article/details/7954114

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int mod = 11380;
int dp[11][11][11][31];
bool v[11][11][11][31];
int dfs(int l1, int l2, int l3, int deep) {
	if (l1 == 0 && l2 == 0 && l3 == 0) {
		v[l1][l2][l3][deep] = 1;
		return dp[l1][l2][l3][deep] = 1;
	}
	if (deep == 0) {
		v[l1][l2][l3][deep] = 1;
		return dp[l1][l2][l3][deep]  = 0;
	}
	if (v[l1][l2][l3][deep])
		return dp[l1][l2][l3][deep];
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= l3; i++) {
		if (i) {
			ans = (ans + dfs(0 , 0, i - 1, deep - 1) * dfs(l1, l2, l3 - i, deep)) % mod;
		}
		for (int j = 0 ;j <= l2; j++) {
			if (j) {
				ans = (ans + dfs(0, j - 1, i, deep - 1) * dfs(l1, l2 - j, l3 - i, deep)) % mod;
			}
			for (int k = 1; k <= l1; k++) {
				ans = (ans + dfs(k - 1, j, i, deep - 1) * dfs(l1 - k, l2 - j, l3 - i, deep)) % mod;
			}
		}
	}
	v[l1][l2][l3][deep] = 1;
	return dp[l1][l2][l3][deep] = ans;
}
int main() {
	int n, m, d, t;
	while(~scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &t, &d)) {
		dfs(n, m, t, d);
		if(d) dfs(n, m ,t, d - 1);
		if(d) {
			printf("%d
", (dp[n][m][t][d] - dp[n][m][t][d - 1] + mod ) % mod);
		} else {
			printf("%d
", dp[n][m][t][d]);
		}
	}
}