单变量微分导数与链式法则

Posted 2021-02-06 shine-lee

映射是一种对应关系。

函数是一种映射，将变量间的关系形式化为数学描述。

令(y = f(x))，即(y)是(x)的函数，可以是(y = 2x + 1)，也可以是(y = sin(x))。(x)的变化将引起(y)的变化，(x)的变化量( riangle x)导致(y)变化( riangle y)，当变化量很小（趋近于0）时，为瞬间变化量，记为(dx)和(dy)，瞬间变化量之比为瞬间变化率，即(frac{dy}{dx})。瞬间变化率(frac{dy}{dx})乘以(x)的瞬间变化量(dx)为(y)的瞬间变化量(dy)。

导数（Derivative），是对瞬间变化率的衡量，即(frac{dy}{dx})，导数也是函数，衡量每个(x)位置处的瞬间变化率。而微分（Differential，differentiation， differential calculus），指的是求导数——通过求瞬间变化量的关系来求导数。

当(x)为单变量时，导数为

[f‘(a) = frac{dy}{dx} vert _{x=a} = lim_{h ightarrow 0} frac{f(a + h) - f(a)}{h}]

每个位置处的导数如下

基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。

基本初等函数通过四则运算和复合可以得到复杂函数，其中减法与加法等价，除法与乘法等价：

1. 加法（减法）：(f(x)+g(x))
2. 乘法（除法）：(f(x)g(x))
3. 复合：(f(g(x)))

加法的求导可以理解为变化量（率）的叠加，即(f‘ + g‘)；
乘法的求导可以理解为矩形面积的变化率，将(f(x))和(g(x))看成矩形的边长，导数为$(frac{(f + df)(g+dg)}{dx})，在(dx)趋近于0时，面积增量为(fdg+gdf)（忽略了极小项），即导数为(f‘g+fg‘)。如下

复合函数的求导可以理解为变化率的传递，(y = f(u))，(u=g(x))，(x)的变化引起(u)的变化，(u)的变化引起(y)的变化，即(dy=frac{dy}{du} du =frac{dy}{du} frac{du}{dx} dx)，(frac{dy}{dx}= frac{dy}{du} frac{du}{dx})，此为链式法则，(f‘(x) = f‘(g(x)) g‘(x))。变化量的传递如下：

可以令(x)变化一个极小量如( riangle x=0.000001)，带入函数求(y)的变化量( riangle y)，用(frac{ riangle y}{ riangle x})来估计(x)位置的导数，但这无疑是费时费力的，常见函数的导数一般都存在解析形式，如下：

参考

• http://mathworld.wolfram.com/Differential.html
• Chain rule
• 3Bulu1Brown-直观理解链式法则和乘积法则