：导数与微分：第二节：求导

Posted 2022-06-13 快乐江湖

文章目录

• 一：导数本质
• 二：基本初等函数的导数公式
• 三：求导法则
• • （1）有理函数运算法则
  • （2）复合函数求导
  • （3）隐函数求导
  • （4）反函数求导
  • （5）参数方程求导
  • （6）对数求导
• 四：高阶导数

一：导数本质

导数本质：是看某个量的微小变化以及它和它所导致的另一个量的微小变化有何关系

如下$f(x)=x^2$，该函数表示某个正方形的面积。当该正方形两边都扩展$dx$长度时，此时多出来的面积就会由三部分组成

所以多出来的面积（面积的变化量）：两个小长方形+一个小正方形，也即$df=xdx+xdx+d{x}^2$。但是你会发现后面的$d{x}^2$实际上是可以忽略的（相对于$dx$完全可以忽略不计）

因此这微小的$dx$的该变量，将导致$df$的变化，也即 $df=2xdx$，换个写法就是$f(x)=x^2$的导数，也即$\frac{df}{dx}=2x$

其实上面所忽略的部分就是高阶无穷小。例如在计算体积$f(x)=x^3$时，高阶项就可以忽略不计

二：基本初等函数的导数公式

三：求导法则

（1）有理函数运算法则

（2）复合函数求导

（3）隐函数求导

（4）反函数求导

（5）参数方程求导

（6）对数求导

四：高阶导数

高阶导定义

• 如果函数$f(x)$在点$x$处$n$阶可导，则在点$x$的某邻域内$f(x)$必定具有
  一切低于$n$阶的倒数

常用高阶导公式