[哈夫曼树][优先队列] Bzoj P4198 荷马史诗

Posted 2021-02-05 comfortable

Description

追逐影子的人，自己就是影子。 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有 n 种不同的单词，从 1 到 n 进行编号。其中第 i 种单词出现的总次数为 wi。Allison 想要用 k 进制串 si 来替换第 i 种单词，使得其满足如下要求:

对于任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：si 不是 sj 的前缀。

现在 Allison 想要知道，如何选择 si，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下，Allison 还想知道最长的 si 的最短长度是多少？

一个字符串被称为 k 进制字符串，当且仅当它的每个字符是 0 到 k−1 之间（包括 0 和 k−1）的整数。

字符串 Str1 被称为字符串 Str2 的前缀，当且仅当：存在 1≤t≤m，使得 Str1=Str2[1..t]。其中，m 是字符串 Str2 的长度，Str2[1..t] 表示 Str2 的前 t 个字符组成的字符串。

 

Input

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,k，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种单词，需要使用 k 进制字符串进行替换。

接下来 n 行，第 i+1 行包含 1 个非负整数 wi，表示第 i 种单词的出现次数。

 

Output

输出文件包括 2 行。

第 1 行输出 1 个整数，为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第 2 行输出 1 个整数，为保证最短总长度的情况下，最长字符串 si 的最短长度。

 

Sample Input

4 2
1
1
2
2

Sample Output

12
2

HINT

用 X(k) 表示 X 是以 k 进制表示的字符串。

一种最优方案：令 00(2) 替换第 1 种单词，01(2) 替换第 2 种单词，10(2) 替换第 3 种单词，11(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1×2+1×2+2×2+2×2=12

最长字符串 si 的长度为 2。

一种非最优方案：令 000(2) 替换第 1 种单词，001(2) 替换第 2 种单词，01(2) 替换第 3 种单词，1(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1×3+1×3+2×2+2×1=12

最长字符串 si 的长度为 3。与最优方案相比，文章的长度相同，但是最长字符串的长度更长一些。

对于所有数据，保证 2≤n≤100000，2≤k≤9。

选手请注意使用 64 位整数进行输入输出、存储和计算。

 

题解

• 这题跟今天的荷马史诗不是同一道题！！不是同一道题！！不是同一道题！！
• 在那题里，计算代价的方式不同，以至于不能用哈夫曼树做
• 然后这题的话，其实就是一个k进制的哈夫曼树
• 就用优先队列来做就好了

代码

 

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <cstring>
 5 #include <queue>
 6 #define N 100010
 7 #define ll long long
 8 using namespace std;
 9 struct node 
10 { 
11     ll v,dep;
12     bool operator < (const node &a) const
13     { return v==a.v?dep>a.dep:v>a.v; }    
14 };
15 ll n,k,l,r,p,ans,a[N];
16 priority_queue<node> Q;
17 int main()
18 {
19     scanf("%lld%lld",&n,&k);
20     for (ll i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
21     sort(a+1,a+n+1);
22     for (ll i=1;i<=n;i++) Q.push((node){a[i],0});
23     while ((n-1)%(k-1)) Q.push((node){0,0}),n++;
24     while (Q.size()>1)
25     {
26         l=1,r=0,p=0;
27         while (l<=k) p+=Q.top().v,l++,r=max(r,Q.top().dep),Q.pop();
28         ans+=p,Q.push((node){p,r+1});
29     }
30     printf("%lld
%lld",ans,Q.top().dep);
31 }