CF1105C Ayoub and Lost Array ——动态规划

Posted 2021-02-05 sun-of-ice

 

CF1105C Ayoub and Lost Array

题意：
一个整数数组，满足：
1. 长度为n
2. 所有元素都在[l, r]范围内
3. 所有元素的和能被3整除
给出n, l, r (1 ≤ n ≤ 2*10^5,1 ≤ l ≤ r ≤ 10^9)
请找出符合条件的数组的个数，答案对 10^9 + 7取模

首先我们要处理出[l, r]中对3取模得结果分别为0，1，2的数的个数，在一个合乎要求的数组中，结果为1和2的数的个数必然一样，由此就可以很方便地得到所有可能的组合的个数。但新的问题来了，由于可以选用相同的数，求出这些组合的排列数几乎是一个不可能完成的任务（对我这种蒟蒻来说）。
换一种思路，我们一个数一个数地添，并把所有可能的情况都考虑进去：
设dp[i][j]表示有i个数，且它们的和对3取模结果为j的数组个数，数组num[i]中记录了[l, r]中对3取模得结果为i的数的个数
显然dp[1][j] = num[j]，随后，向已有的数组的尾部添加新的数字，例如：
dp[i][0] = dp[i - 1][0] * num[0] + dp[i - 1][1] * num[2] + dp[i - 1][2] * num[1]
dp[i][1]和dp[i][2]的情况同理，递推到n，dp[n][0]就是我们要的答案。

为什么是添加到尾部？不能插入到某个数字前吗？这样做会不会漏情况？
实际上，插入到某个数字之前会带来重复（会有另一个数被顶到尾部），举个例子：现在前i - 1个数的和对3取模结果为1，要添加一个结果为2的数，即dp[i - 1][1] * num[2]，如果把它插入到前面，使一个对3取模结果为1的数被顶到了前面的话，显然就与dp[i - 1][2] * num[1]的情况重复了，另外两种情况同理。

附关键部分代码，欢迎纠错。

const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 2e5 + 5;
ll dp[maxn][3];//有i个数，且它们的和对3取模结果为j的数组个数
int main()
{
    //num[i]记录了对3取模结果为i的数的个数
    dp[1][0] = num[0], dp[1][1] = num[1], dp[1][2] = num[2];
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        dp[i][0] = (dp[i - 1][0] * num[0]) % mod + (dp[i - 1][1] * num[2]) % mod + (dp[i - 1][2] * num[1]) % mod;
        dp[i][0] %= mod;
        dp[i][1] = (dp[i - 1][0] * num[1]) % mod + (dp[i - 1][1] * num[0]) % mod + (dp[i - 1][2] * num[2]) % mod;
        dp[i][1] %= mod;
        dp[i][2] = (dp[i - 1][0] * num[2]) % mod + (dp[i - 1][1] * num[1]) % mod + (dp[i - 1][2] * num[0]) % mod;
        dp[i][2] %= mod;
    }
    cout << dp[n][0] << endl;
}