codeforces1097D Makoto and a Blackboard 数学+期望dp

Posted 2021-02-04 mountaink

题目传送门

题目大意：

　　给出一个n和k，每次操作可以把n等概率的变成自己的某一个因数，（6可以变成1,2,3,6，并且概率相等），问经过k次操作后，期望是多少？

思路：数学和期望dp  好题好题！！

　　直接考虑n到因子很难做，所以要研究从n到因子的一些性质。

　　如果一个数可以写成，p^c这样的形式，并且p是质数，那么如果把这个数进行上述的操作，他可以变成的形式必然是p^x（0<=x<=c），并且每个数的概率是平均的。

　　所以对于这样的数，我们可以得出dp方程，i表示第几次操作，j表示p^j。

　　dp[ i + 1 ][ j ] = dp[ i ][ x ] / (  j + 1 );( j <= x );

　　但是不是每个数都能写成p^c的形式的，但是每个数都能写成  p1^c1  *  p2 ^c2  ……*pn ^ cn 的形式，所以我们就把一个数拆开，对每一个部分单独算期望，最后相乘，就是原来的期望了。

　　好题好题！！

#include<bits/stdc++.h>
const int inf=0x3f3f3f3f;
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=1e9+7;
const int maxn=110;
ll inv[maxn];
ll dp[10010][60];
ll c[maxn],m[maxn];
int len;
ll n,k;
void getinv() {
    inv[1]=1;
    for(int i=2; i<=60; i++) {
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
    }
}
int main() {
    cin>>n>>k;
    getinv();
    ll temp=n;
    for(ll i=2; i*i<=temp; i++) {
        if(temp%i==0) {
            c[++len]=i;
            while(temp%i==0) {
                temp/=i;
                m[len]++;
            }
        }
    }
    if(temp!=1)
        c[++len]=temp,m[len]=1;

    ll ans=1;
    for(int tep=1; tep<=len; tep++) {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][m[tep]]=1;
        for(int i=1; i<=k; i++) {
            for(int j=0; j<=m[tep]; j++) {
                for(int t=j; t<=m[tep]; t++) {
                    dp[i][j] = (dp[i][j]+dp[i-1][t]*inv[t+1]%p)%p;
                }
            }
        }

        ll tmp=0;
        ll di=1;
        for(int j=0; j<=m[tep]; j++) {
            tmp+=di*dp[k][j]%p;
            tmp%=p;
            di*=c[tep];
            di%=p;
        }
        ans=(ans*tmp)%p;
    }
    cout<<ans<<endl;
}