SPFA算法

Posted 2021-02-04 dwvictor

适用于：
稀疏图（侧重于对边的处理）。

时间复杂度：
O(KE)，K是常数，平均值为二，E是边数。（因为和边有关，所以不适于稠密图）

来源：
SPFA是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。 
这个算法简单地说就是队列优化的Bellman-Ford，利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法。 
SPFA在形式上和广度优先搜索非常类似，不同的是广度优先搜索中的一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中的一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是说一个点修改过其他的点之后，过了一段时间可能会获得更短的路径，于是再次用来修改其他的点，这样反复进行下去。

优化方法：
1.循环队列（可以降低队列大小） 
2.SLF：Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j) < dist(i)，则将j插入队首，否则插入队尾。

if(!vis[temp])
{
    if(dis[q[head + 1]] < dis[temp])  //注意小于号不要写反，否则时间会爆
      {
        tail = (++tail - 1) % qxun + 1;
        q[tail] = temp;
      }
    else
      {
        q[head] = temp;
        if(--head == 0) head = qxun;
      }
    vis[temp] = 1;
}

3.LLL：Large Label Last 策略，设队首元素为i，每次弹出时进行判断，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i)>x则将i插入到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出对进行松弛操作。

实现：
（伪代码）

dis[i]记录从起点s到i的最短路径，w[i][j]记录连接i，j的边的长度，pre[v]记录前趋。
team[1..n]为队列，头指针head，尾指针tail。
布尔数组exist[1..n]记录一个点是否现在存在队列中。
初始化：dis[s] = 0, dis[v] = oo(v != s), memset(exist, false, sizeof(exist));
起点入队 team[1] = s; head = 0; tail = 1; exist[s] = true;
do
  {
    1.头指针向下移一位，取出指向的点u。
    2.exist[u] = false; 已经被取出了队列。
    3.for与u相连的所有点v  //注意不要去枚举所有点，用链式前向星存储
      if(dis[v] > dis[u] + w[u][v])
        {
          dis[v] = dis[u] + w[u][v];
          pre[v] = u;
          if(!exist[v]) //队列中不存在v点，v入队
            {
              尾指针下移一位，v入队;
              exist[v] = true;
            }
          }
  }while(head < tail);

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